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马尔可夫决策过程

马尔可夫决策过程（Markov decision process，MDP）是强化学习的重要概念，当想使用强化学习解决实际问题时，第一步就是将实际问题抽象为马尔可夫决策过程，这个过程的目的是使当前分数更高。

马尔可夫过程

马尔可夫过程（Markov Process）是一种随机过程，它的特点是具有马尔可夫性质，也叫马尔可夫链（Markov chain）
马尔可夫过程一般由一个$<S,P>$二元组来表示，其中$S$是一个有限状态的列表，$P(s^{‘}|s)$是一个状态转移矩阵，代表了状态$s$到状态$s^{‘}$的概率

马尔可夫性质

马尔可夫性质是指，未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关，也可以说，当前状态只与上一个状态有关，公式为
$P(S_{t+1}=s_{t+1}|S_t=s_t,...,S_0=s_0)=P(S_{t+1}=s_{t+1}|S_t=s_t)$

马尔可夫的奖励过程

在马尔可夫过程（Markov reward process,MRP）加入奖励函数$r$和折扣因子$\gamma$，就是马尔可夫奖励过程，使用$<S,P,r,\gamma >$构成。
$S$是一个有限状态的列表
$P(s^{‘}|s)$是一个状态转移矩阵，代表了状态$s$到状态$s^{‘}$的概率
$r(s)$是指转移到s状态可获得的奖励
$\gamma$是折扣因子，因为远期效益不确定，所以要对远期效益打折扣，当$\gamma$接近0时，只考虑当前效益，当接近于1时，更关注长期的累计奖励。

回报

回报是在一个马尔可夫奖励过程中，综合奖励和远期效益给模型的回报。公式如下：
$G_t=R_t+\gamma R_{t+1}+{\gamma }^2{R}_{t+2}+...={\sum }_{k=t}^{\infty }{\gamma }^k{R}_{t+k}$

价值函数

价值函数$V(s)$，价值函数是指一个状态的期望回报，是指当前状态下，未来所有马尔可夫链的回报的均值。公式$V(s)=E(G_t|S_t=s)$，展开为$V(s)=E(r(s)+\gamma S_{t+1}|S_t=s)$
可以得到$V(s)=r(s)+\gamma {\sum }_{s^{‘}\in S}p(s^{‘}|s)V(s^{‘})$，价值函数不等于奖励，从公式可以看出价值函数由奖励得来。
代码实现，马尔可夫链的回报和价值
图如下


价值函数写成矩阵形式，推导可以得出以下式子，$V=IV$，其中这个I是对角线为1其余为0的单位矩阵

import numpy as np
np.random.seed(0)
# 定义状态转移概率矩阵P
P = [[0.9, 0.1, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0],[0.5, 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, 0.0],[0.0, 0.0, 0.0, 0.6, 0.0, 0.4],[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.3, 0.7],[0.0, 0.2, 0.3, 0.5, 0.0, 0.0],[0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0],
]
P = np.array(P) # 之前定义的列表 P 转换成一个 NumPy 数组rewards = [-1, -2, -2, 10, 1, 0]  # 定义奖励函数，定义的是每个状态下的奖励函数
gamma = 0.5  # 定义折扣因子# 给定一条序列,计算从某个索引（起始状态）开始到序列最后（终止状态）得到的回报
# 观察公式，我们计算回报时，需要后面状态的回报，得从后往前算
def compute_return(start_index, chain, gamma):G = 0# 回报for i in range(len(chain),start_index,-1):G = G*gamma + rewards[chain[i-1]-1]return G# 一个状态序列,s1-s2-s3-s6
print("状态序列s1-s2-s3-s6")
chain = [1, 2, 3, 6]
start_index = 0
G = compute_return(start_index, chain, gamma)
print("根据本序列计算得到回报为：%s。" % G)def compute(P, rewards, gamma, states_num):''' 利用贝尔曼方程的矩阵形式计算解析解,states_num是MRP的状态数 '''rewards = np.array(rewards).reshape((-1, 1))  #将rewards写成列向量形式value = np.dot(np.linalg.inv(np.eye(states_num, states_num) - gamma * P),rewards)return valueV = compute(P, rewards, gamma, 6)
print("MRP中每个状态价值分别为\n", V)

马尔可夫决策过程

马尔可夫决策过程（Markov decision process，MDP），相对马尔可夫奖励过程，增加了执行动作a，在我看来MRP只是点明了奖励函数和价值函数，只是自发改变的随机过程，缺少决策来判断应该执行哪个行动来进行下一步，也就是缺少了获取最大奖励这个步骤，而马尔可夫决策过程是完全体（个人愚见），由$⟨S,A,P,r,\gamma ⟩$组成。
$S$是状态的集合；
$\mathcal{A}$是动作的集合；
$\gamma$是折扣因子；
$r(s,a)$是奖励函数，此时奖励可以同时取决于状态s ss和动作a aa，在奖励函数只取决于状态s ss时，则退化为r ( s ) r(s)r(s)
$P(s\prime \mid s,a)$是状态转移函数，表示在状态$s$执行动作$a$之后到达状态$s^{\prime }$ 的概率。