网站建设选哪个好优化营商环境心得体会1000字

动态规划中的自顶向下与自底向上

一、动态规划的概念

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种解决复杂问题的方法，它将问题分解为更小的子问题，通过解决这些子问题并存储其解，避免重复计算，从而高效地解决原问题。动态规划的核心思想是利用重叠子问题（overlapping subproblems）和最优子结构（optimal substructure）的性质。

二、自顶向下的概念

2.1 自顶向下的思考流程方式

自顶向下是一种递归的思考方式，从问题的最终目标出发，逐步分解为更小的子问题。在动态规划中，自顶向下通常结合记忆化技术（Memoization）来存储已解决的子问题，避免重复计算。

具体步骤：

1. 定义问题的递归关系，明确如何将原问题分解为子问题。
2. 使用递归函数实现，每次递归调用解决一个更小的子问题。
3. 引入记忆化机制（如字典或数组），存储已解决的子问题的解，防止重复计算。

2.2 如何确定递归边界

递归边界是动态规划自顶向下方法中的关键部分。通常，我们需要考虑以下因素来确定递归终止条件：

• 问题的最小规模：如果问题规模已经不可再分（如 n = 0 或 n = 1），则可以直接返回结果。
• 子问题的已知解：如果某些情况的结果已知，可以作为递归边界，例如斐波那契数列中的 F(0) = 0 和 F(1) = 1。
• 避免无限递归：确保递归在每次调用时都朝着终止条件收敛，否则可能会导致无限递归。

2.3 结合 LeetCode 例题来讲解示范

例题：和为 n 的完全平方数的最少数量（Perfect Squares）

给定整数 n，返回和为 n 的完全平方数（如 1, 4, 9, 16,...）的最少数量。

代码分析：递归 + 记忆化搜索（@cache）求最少完全平方数

算法思路

这段代码使用 递归 + 记忆化搜索（Memoization）来解决最少完全平方数求和问题。
其核心思想是：

• 使用 dp(i, j) 表示：
  • 在 1 到 i 之间选择完全平方数，使得它们的和等于 j，所需的最小数量。
• 递归状态转移方程：
  • dp(i, j) = dp(i-1, j)：不使用 i^2 这个完全平方数的情况。
  • dp(i, j) = dp(i, j - i^2) + 1：使用 i^2 这个完全平方数，并减少目标和 j。
  • 取两者的最小值，即 dp(i, j) = min(dp(i-1, j), dp(i, j - i^2) + 1)。

---

代码

from functools import cache
from math import isqrtdef numSquares(n):@cachedef dp(i, j):if i == 1:return j  # 只能用 1^2 拼出 j，则需要 j 个 1if i**2 > j:return dp(i-1, j)  # i^2 超过 j，不能使用它，只能使用更小的数return min(dp(i-1, j), dp(i, j - i**2) + 1)  # 选择是否使用 i^2return dp(isqrt(n), n)  # 从 sqrt(n) 开始递归

---

三、自底向上的概念

3.1 自底向上的思考流程方式

自底向上是一种迭代的思考方式，从最简单的子问题开始，逐步构建解决方案，直到解决原问题。在动态规划中，自底向上通常使用动态规划表（Dynamic Programming Table）来存储子问题的解。

具体步骤：

1. 定义动态规划表的结构，确定如何存储子问题的解。
2. 初始化动态规划表的初始值，通常是最简单的子问题的解。
3. 使用循环逐步构建更大的解，直到解决原问题。

---

3.2 结合 LeetCode 例题来讲解示范

例题：和为 n 的完全平方数的最少数量

算法思路

这段代码使用 动态规划 来解决最少数量的完全平方数求和问题。核心思想是：

• 状态定义：
  • 设 dp[i] 表示和为 ( i ) 的最少完全平方数的数量。
• 状态转移方程：
  • dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)，其中 ( j^2 ) 是不超过 ( i ) 的某个完全平方数。
  • 通过遍历所有可能的完全平方数 ( j^2 )（( j \leq \sqrt{i} )），找到能得到最少数量的组合。
• 初始化：
  • dp[0] = 0，因为和为 0 时不需要任何数。
  • 其他 dp[i] 初始设为无穷大 (float('inf'))，表示尚未计算。
• 遍历顺序：
  • i 从 1 到 n 遍历，计算 dp[i]。
  • j 从 1 到 sqrt(i) 遍历，尝试所有可能的完全平方数 j * j，并更新 dp[i]。

---

自底向上解决方案：

import mathdef numSquares(n):dp = [float('inf')] * (n + 1)dp[0] = 0for i in range(1, n + 1):for j in range(1, int(math.sqrt(i)) + 1):dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)return dp[n]

分析：

• 动态规划表：使用数组 dp 存储每个斐波那契数的值。
• 初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 1。
• 迭代构建：通过循环从 i=2 到 i=n 计算每个 dp[i]。

---

四、两者的对比，如何判断何时使用哪种方式

特性	自顶向下（Top-Down）	自底向上（Bottom-Up）
实现方式	递归调用	迭代实现
子问题存储	使用记忆化技术存储已解决的子问题	使用动态规划表存储子问题的解
问题分解	从最终目标分解为子问题	从最简单的子问题逐步构建解决方案
适用场景	适用于问题可以自然分解为子问题的情况	适用于子问题之间存在重叠且需要逐步构建的情况
时间复杂度	可能较高，但可以通过记忆化优化	通常较低，因为避免了递归调用的开销
空间复杂度	可能较高，因为需要存储递归调用栈和记忆化表	通常较低，因为只需要存储动态规划表

---

如何选择

• 问题分解的自然性：如果问题可以自然地分解为子问题，且递归关系明确，自顶向下可能更直观。
• 性能要求：如果对性能要求较高，且递归调用的开销不可接受，自底向上可能更合适。
• 空间限制：如果内存空间有限，自底向上通常更节省空间，因为它不需要递归调用栈。