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检查一个整数是否可以表示为不同三的幂之和

问题背景

三的幂指的是形如 3x 的数字，其中 x 是非负整数。例如 30=1、31=3、32=9 等。题目要求判断一个给定的整数 n 是否能表示为若干个不同的三的幂之和。

问题分析

要解决这个问题，关键在于理解三进制的表示方式。三进制是一种以3为基数的计数系统，每个数字只能是0、1或2。例如，十进制的3在三进制中表示为 103​（1×31+0×30），十进制的4表示为 113​（1×31+1×30）。

如果我们把一个数表示为若干个不同的三的幂之和，那么在三进制表示中，每个位置上的数字只能是0或1。因为如果有某个位置上的数字是2，就表示这个位置上有两个相同的三的幂项，这违反了题目中“不同”的要求。

举个例子：

• 12=9+3=32+31，在三进制表示为 1103​，所有位都是0或1 → 满足条件

• 21=9+9+3=32+32+31，在三进制表示为 2103​，其中第二位是2 → 不满足条件

解题思路

1. 将 n 转换为三进制表示：

   • 不断将 n 除以3，记录余数（余数就是三进制表示中的每一位数字）

   • 反复这个过程直到 n 变为0

2. 检查三进制表示中的每一位数字：

   • 如果所有数字都是0或1，则返回 true

   • 如果有任意数字是2，则立即返回 false

算法实现

class Solution {public boolean checkPowersOfThree(int n) {// 如果n为0，直接返回false，因为0不能表示为任何三的幂之和if (n == 0) {return false;}// 不断将n除以3，检查余数while (n > 0) {int remainder = n % 3; // 获取三进制表示的当前位数字// 如果余数是2，说明无法用不同三的幂表示，直接返回falseif (remainder == 2) {return false;}// 继续处理更高一位n = n / 3;}// 检查完所有位后，没有发现余数2，说明可以表示为不同三的幂之和return true;}
}

示例解析

示例1：n = 12

1. 12÷3=4 余 0 → 三进制最低位是0

2. 4÷3=1 余 1 → 下一位是1

3. 1÷3=0 余 1 → 最高位是1

4. 三进制表示为 1103​，所有位都是0或1 → 输出 true

示例2：n = 91

1. 91÷3=30 余 1 → 第1位是1

2. 30÷3=10 余 0 → 第2位是0

3. 10÷3=3 余 1 → 第3位是1

4. 3÷3=1 余 0 → 第4位是0

5. 1÷3=0 余 1 → 第5位是1

6. 三进制表示为 101013​，所有位都是0或1 → 输出 true

示例3：n = 21

1. 21÷3=7 余 0 → 第1位是0

2. 7÷3=2 余 1 → 第2位是1

3. 2÷3=0 余 2 → 第3位是2 → 输出 false

性能分析

时间复杂度

每次循环将 n 除以3，直到 n 变为0。假设 n 的大小为 m，则需要循环 O(log3​m) 次。因此，时间复杂度为 O(logn)，其中 n 是输入整数的大小。

空间复杂度

整个算法只需要常量级的空间存储中间变量，因此空间复杂度为 O(1)。

总结

这种方法的巧妙之处在于利用三进制的表示特性。通过简单的除法和余数运算，我们就能高效地判断一个整数是否可以表示为不同三的幂之和。这种方法不仅代码简洁，而且运行效率高，适用于所有整数范围内的判断。

实际上，这种方法还可以扩展到其他类似的问题，例如判断一个数是否可以表示为不同2的幂之和（二进制检查是否有重复1），或者不同4的幂之和（四进制检查）。这体现了数学在算法设计中的强大应用价值。