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做软装有什么网站找图片东莞英文网站制作

wzjs 2025/9/5 22:16:27

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问题描述

给定一个数字字符串 num，统计其所有不同排列中满足以下条件的数目：
奇数位下标数字之和 = 偶数位下标数字之和（下标从0开始）。
答案需对 109+7109+7 取模。

示例
输入：num = "08143"
输出：12
解释：存在12种排列方式使得奇数位和与偶数位和相等。

初探问题：暴力法的局限

思路分析

最直观的想法是生成所有排列，逐一检查是否满足条件。然而，当字符串长度 nn 较大时，排列数为 O(n!)O(n!)，显然会超时。

代码示例（Java）

java

// 暴力回溯（仅示意，不可行）
public class BruteForceSolution {private int count = 0;public int countBalancedPermutations(String num) {backtrack(num.toCharArray(), 0);return count;}private void backtrack(char[] arr, int start) {if (start == arr.length) {if (isBalanced(arr)) count++;return;}for (int i = start; i < arr.length; i++) {swap(arr, start, i);backtrack(arr, start + 1);swap(arr, start, i);}}private boolean isBalanced(char[] arr) {int evenSum = 0, oddSum = 0;for (int i = 0; i < arr.length; i++) {if (i % 2 == 0) evenSum += arr[i] - '0';else oddSum += arr[i] - '0';}return evenSum == oddSum;}
}

缺点：时间复杂度 O(n!)O(n!)，无法处理 n>10n>10 的情况。

优化思路：组合数学 + 动态规划

关键观察

总和奇偶性：若所有数字之和为奇数，直接返回0。
分配问题：将数字分配到奇数位和偶数位，使得两部分和相等。

数学建模

设总共有 mm 个奇数位和 kk 个偶数位（m=⌈n/2⌉m=⌈n/2⌉, k=⌊n/2⌋k=⌊n/2⌋）。
对每个数字 dd，选择 jj 个放在奇数位，剩余 cnt[d]−jcnt[d]−j 个放在偶数位，需满足：

∑(jd×d)=总和2∑(jd×d)=2总和
∑jd=m∑jd=m

动态规划状态定义

定义 dfs(pos, currSum, oddRemain)：

pos：当前处理的数字（0~9）
currSum：奇数位当前总和
oddRemain：剩余可分配的奇数位数量

转移方程

对每个数字 dd，枚举分配到奇数位的数量 jj，满足：
j∈[max⁡(0,cnt[d]−剩余偶数位),min⁡(cnt[d],oddRemain)]j∈[max(0,cnt[d]−剩余偶数位),min(cnt[d],oddRemain)]
方案数为组合数乘积：
C(oddRemain,j)×C(剩余偶数位,cnt[d]−j)C(oddRemain,j)×C(剩余偶数位,cnt[d]−j)

高效实现：预计算与记忆化

预计算组合数

使用动态规划预计算组合数 C(n,k)mod MODC(n,k)modMOD，避免重复计算。

java

// 预处理组合数C(n,k)
comb = new long[maxOdd + 1][maxOdd + 1];
for (int i = 0; i <= maxOdd; i++) {comb[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++) {comb[i][j] = (comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]) % MOD;}
}

记忆化搜索

通过三维数组 memo[pos][currSum][oddRemain] 记录状态，减少重复计算。

java

private long dfs(int pos, int currSum, int oddRemain) {if (memo[pos][currSum][oddRemain] != -1) return memo[pos][currSum][oddRemain];// ... 递归逻辑 ...memo[pos][currSum][oddRemain] = res;return res;
}

剪枝优化

若当前总和超过目标值 target，提前返回。
若剩余奇数位数量不足，跳过非法状态。

完整代码实现

java

import java.util.Arrays;public class Solution {private static final long MOD = 1_000_000_007;private long[][][] memo;private int[] cnt;private int target;private long[][] comb;private int[] psum;public int countBalancedPermutations(String num) {// 统计数字频率并计算总和cnt = new int[10];int tot = 0, n = num.length();for (char c : num.toCharArray()) {int d = c - '0';cnt[d]++;tot += d;}if (tot % 2 != 0) return 0;target = tot / 2;int maxOdd = (n + 1) / 2;// 预处理组合数comb = new long[maxOdd + 1][maxOdd + 1];for (int i = 0; i <= maxOdd; i++) {comb[i][0] = 1;for (int j = 1; j <= i; j++) {comb[i][j] = (comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1]) % MOD;}}// 计算psum[i]: 从i到9的数字总数psum = new int[11];for (int i = 9; i >= 0; i--) {psum[i] = psum[i+1] + cnt[i];}// 初始化记忆化数组memo = new long[10][target+1][maxOdd+1];for (long[][] arr2 : memo) {for (long[] arr1 : arr2) {Arrays.fill(arr1, -1);}}return (int) dfs(0, 0, maxOdd);}private long dfs(int pos, int currSum, int oddRemain) {if (oddRemain < 0 || currSum > target) return 0;if (pos == 10) {return (currSum == target && oddRemain == 0) ? 1 : 0;}if (memo[pos][currSum][oddRemain] != -1) {return memo[pos][currSum][oddRemain];}long res = 0;int evenRemain = psum[pos] - oddRemain;int lower = Math.max(0, cnt[pos] - evenRemain);int upper = Math.min(cnt[pos], oddRemain);for (int j = lower; j <= upper; j++) {int k = cnt[pos] - j;if (k < 0 || k > evenRemain) continue;long ways = (comb[oddRemain][j] * comb[evenRemain][k]) % MOD;res = (res + ways * dfs(pos+1, currSum + pos*j, oddRemain - j)) % MOD;}memo[pos][currSum][oddRemain] = res;return res;}public static void main(String[] args) {Solution sol = new Solution();System.out.println(sol.countBalancedPermutations("08143")); // 输出12}
}