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内积与相似系数

内积（Inner Product）

内积（Inner Product），也称为点积（Dot Product）或标量积，两个向量点积的结果是一个标量（通常是实数或复数）。
内积&点积

欧几里得空间中的内积

在${\mathbb{R}}^n$（$n$维欧几里得空间）中，设两个向量$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$和$\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$，它们的内积定义为：

$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$$

或者表示为

$$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$$

这个定义给出了两个向量的分量相乘然后求和的结果。

内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。当$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$都是列向量时，内积可以表示为：

$$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩={\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}\mathbf{y}$$

其中，${\mathbf{x}}^{\mathsf{T}}$表示向量$\mathbf{x}$的转置。

内积的性质

内积满足以下基本性质：

1. 对称性：对于实向量空间，$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\mathbf{y}\cdot \mathbf{x}$；对于复向量空间，$⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩=\overline{⟨\mathbf{y},\mathbf{x}⟩}$。
2. 线性：对于所有向量$\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{c}$和所有标量$\alpha$，有$\mathbf{x}\cdot (\mathbf{y}+\mathbf{c})=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}+\mathbf{x}\cdot \mathbf{c}$和$\mathbf{x}\cdot (\alpha \mathbf{y})=\alpha (\mathbf{x}\cdot \mathbf{y})$。
3. 正定性：对于任意非零向量$\mathbf{x}$，有$\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}>0$；如果$\mathbf{x}=0$，则$\mathbf{x}\cdot \mathbf{x}=0$。

内积在许多方面都有应用，比如计算向量之间的角度、确定向量是否正交、计算投影等。在几何上，两个向量的内积等于它们的模长乘积与夹角余弦的乘积，即：

$$\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \cos \phi$$

这里$\Vert \mathbf{x}\Vert$和$\Vert \mathbf{y}\Vert$分别是向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$的长度（模），$\phi$是它们之间的夹角。

相似系数（Similarity Coefficient）

在机器学习中，内积经常用来衡量特征向量之间的相似性。

余弦相似度：一种常用的相似系数是余弦相似度（Cosine Similarity），它基于两个向量的内积和它们的模长（或范数）来定义。余弦相似度的公式如下：

$$\cos \phi =\frac{\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}}{\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert }$$

这里，$\phi$是向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$之间的夹角，$\Vert \mathbf{x}\Vert$和$\Vert \mathbf{y}\Vert$分别是向量$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$的模长。

当向量归一化为单位向量时，两个向量的内积即计算它们之间的夹角余弦。根据柯西-施瓦茨不等式，余弦相似度的取值范围是$[-1,1]$，$0$表示正交（即不相关）。

皮尔逊相关系数：另一种基于内积的相似性度量是皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient）：

$$r_{xy}=\frac{\mathbf{x}-\bar{x}}{\Vert \mathbf{x}-\bar{x}\Vert }\cdot \frac{\mathbf{y}-\bar{y}}{\Vert \mathbf{y}-\bar{y}\Vert }=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$$

这里，$x_i$和$y_i$是向量的元素，$\bar{x}$和$\bar{y}$是相应的均值。

皮尔逊相关系数是内积在标准化向量上的应用。它考虑了变量的标准化（去除了尺度影响）。