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掩码图像建模 (MIM) 中的对数似然与交叉熵

1. 问题背景

在掩码图像建模（MIM）任务中，模型需要预测被遮蔽的图像块对应的视觉词元（可以理解为图像块的离散类别标签）。

具体来说：

• 每个被遮蔽的图像块 $i\in M$ 的真实标签是 $z_i$（即它原本的视觉词元类别）。
• 模型通过 Transformer 编码器生成隐藏向量 $h_L^i$，然后通过一个分类器（参数为 $W_c,b_c$）预测该位置的概率分布 $p_{\text{MIM}}(z^{\prime }|x^M)$。

2. Softmax 分类器的作用

分类器的公式是：
$$p_{\text{MIM}}(z^{\prime }|x^M)={\text{softmax}}_z(W_c{h}_L^i+b_c)$$

• 输入：隐藏向量 $h_L^i\in {\mathbb{R}}^D$（来自 Transformer 的输出）。
• 参数：权重矩阵 $W_c\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{V}|\times D}$ 和偏置 $b_c\in {\mathbb{R}}^{|\mathcal{V}|}$，其中 $|\mathcal{V}|$ 是视觉词元的总类别数。
• 输出：一个概率分布，表示模型认为被遮蔽块 $i$ 属于每个视觉词元类别的概率。

具体计算步骤：

1. 对每个被遮蔽位置 $i$，计算线性变换：$W_c{h}_L^i+b_c$，得到一个长度为 $|\mathcal{V}|$ 的向量（称为logits）。
2. 对 logits 应用 softmax 函数，将其转换为概率分布：
   $$p(z^{\prime })=\frac{\exp (\text{logits}[z^{\prime }])}{{\sum }_{k=1}^{|\mathcal{V}|}\exp (\text{logits}[k])}$$
   其中 $z^{\prime }$ 是某个可能的视觉词元类别。

3. 最大化对数似然（Maximize Log-Likelihood）

目标：让模型对真实标签 $z_i$ 的预测概率尽可能高。

数学表达：
$$\underset{\theta }{\max }{\mathbb{E}}_{x\sim \mathcal{D}}\left[\sum _{i\in M}\log p_{\text{MIM}}(z_i|x^M)\right]$$

• 解释：
  • 对每个被遮蔽位置 $i$，计算真实标签 $z_i$ 的对数概率 $\log p_{\text{MIM}}(z_i|x^M)$。
  • 对所有被遮蔽位置求和，再对所有训练样本 $x$ 求期望。
  • 目标是最大化这个总和，即让模型对真实标签的预测概率尽可能大。

4. 交叉熵损失（Cross-Entropy Loss）

交叉熵损失是分类任务中常用的损失函数，定义为：
$${\mathcal{L}}_{\text{CE}}=-\sum _{i\in M}\log p_{\text{MIM}}(z_i|x^M)$$

• 解释：
  • 对每个被遮蔽位置 $i$，计算真实标签 $z_i$ 的负对数概率。
  • 对所有被遮蔽位置求和，得到总损失。
  • 目标是最小化这个损失，即让真实标签的预测概率尽可能高。

5. 最大化对数似然 vs. 最小化交叉熵

关键结论：
最大化对数似然和最小化交叉熵损失是完全等价的！

具体来说：
$$\underset{\theta }{\max }\sum _{i\in M}\log p_{\text{MIM}}(z_i|x^M)⟺\underset{\theta }{\min }\left(-\sum _{i\in M}\log p_{\text{MIM}}(z_i|x^M)\right)$$

• 左边是最大化对数似然（使正确标签的概率最大化）。
• 右边是最小化交叉熵损失（使正确标签的负对数概率最小化）。

6. 为什么等价？

• 数学本质：交叉熵损失是负的对数似然。
  • 对数似然是 $\sum \log p$，交叉熵是 $-\sum \log p$。
  • 最大化 $A$ 等价于最小化 $-A$。
• 直观理解：
  • 如果模型对真实标签的预测概率 $p(z_i)$ 越大，对数似然 $\log p(z_i)$ 越大，交叉熵损失 $-\log p(z_i)$ 越小。
  • 例如，若真实标签的概率 $p(z_i)=0.9$，则交叉熵损失为 $-\log (0.9)\approx 0.11$；
    若概率 $p(z_i)=0.1$，则损失为 $-\log (0.1)\approx 2.30$。
    显然，概率越大，损失越小。

7. 实际训练中的计算

在代码中，通常直接使用交叉熵损失函数（如 PyTorch 的 CrossEntropyLoss）：

# 假设 logits 是模型的输出（未经过 softmax）
# targets 是被遮蔽位置的真实视觉词元标签
loss = F.cross_entropy(logits, targets)

• 内部过程：
  1. 对 logits 应用 softmax，得到概率分布。
  2. 计算真实标签的负对数概率。
  3. 对所有样本和位置求平均，得到最终损失。

总结

• 目标：让模型对真实标签的预测概率尽可能高。
• 数学实现：通过最大化对数似然（等价于最小化交叉熵损失）。
• 代码实现：直接使用交叉熵损失函数，无需手动计算对数似然。