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互信息

定义公式

• 从条件熵中我们知道，当获取的信息和要研究的食物”有关系时“，这些信息才能帮助我们消除不确定性。如何衡量获取信息和要研究事物“有关系”呢？比如常识告诉我们，一个随机事件“今天深圳下雨”和另一个随机事件“过去24小时深圳空气湿度”相关性很大，但是相关性到底有多大？怎么衡量？再比如“过去24小时深圳空气湿度”似乎就和“北京天气”相关性不大。

• 香农在信息论中提出”互信息“的概念作为两个随机事件“相关性”的量化度量

• 假定有两个随机事件X和Y，他们的互信息定义如下：
  $$\begin{array}{rl}I(X:Y)& =H(X)-H(X|Y)\\ & =H(Y)-H(Y|X)\\ & =H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\ & =H(X,Y)-H(X|Y)-H(Y|X)\\ & =\sum _{x\in X,y\in Y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\end{array}$$
  当X和Y完全相同时互信息的取值是H(X)，同时H(X)=H(Y)；当二者完全无关时互信息取值为0。

• 所谓两个时间相关性的量化度量，就是在了解了其中一个Y的前提下，对消除另一个X不确定性所提供的信息量。

公式推导

• 两种推导公式

• $I(X:Y)=H(X)-H(X|Y)$
  $$\begin{array}{rl}I(X:Y)& =H(X)-H(X|Y)\\ & =-\sum _{x}p(x)\log p(x)-\left(-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)\right)\\ \because & p(x)=\sum _{y}p(x,y)\\ \therefore & =\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x|y)-\sum x,yp(x,y)\log p(x)\\ & =\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x|y)}{p(x)}\\ \because & p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p(y)}\\ \therefore & =\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\end{array}$$

• $I(X:Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)$
  $$\begin{array}{rl}I(X:Y)& =H(X)+H(Y)-H(X,Y)\\ & =-\sum _{x}p(x)\log p(x)-\left(-\sum _{y}p(y)\log p(y)\right)-\left(-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)\right)\\ & =\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)-\left(\sum _{x}p(x)\log p(x)-\sum _{y}p(y)\log p(y)\right)\\ \because & p(x)=\sum _{y}p(x,y)\\ \therefore & =\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)-\left(\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x)-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y)\right)\\ & =\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}\end{array}$$

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