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同余

如果a, b除以相同的除数m并且得到的余数相同，就称整数a和b模m同余，记作$a \equiv b \pmod{m} $。准确地说，如果$a=b+km$的话，$ $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$例如$23\equiv 65(\mathrm{mod}7)$

互质

两个整数a，b的最大公约数是1($gcd(a,b)=1$)，则整数a，b互质。

欧拉函数

欧拉函数通常用符号 $\phi (n)$ 表示。

$\phi (n)$ 表示：小于n的正整数中与n互质的数的个数，其中 $\phi (1)=1$。

若$n=p\ast q$，则 $\phi (n)=(p-1)(q-1)$ 。

基本求法

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;int phi(int n){int ans = n;for(int i = 2; i * i <= n; i++) {if(n % i == 0){ans = ans - ans / i;while (n % i == 0)	n /= i;}}if(n > 1)	ans = ans - ans / n;return ans;
}int main() {int n;while (~scanf("%d", &n), n) {printf("%d\n", phi(n));}return 0;
} 

用线性筛求欧拉函数

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;
const int maxn=1000;
int prime[maxn], phi[maxn];
bool notprime[maxn];void getphi(){phi[1] = 1;notprime[1] = 1;prime[0] = 0;for(int i = 2; i <= maxn; i++) {if(!notprime[i]) {prime[++prime[0]] = i;phi[i] = i-1;}for(int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= maxn; j++){notprime[i * prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];break;}else	phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);}}
}
int main() {getphi();for(int i = 1; i <= 100; i++){printf("%d %d\n", i, phi[i]);}return 0;
}

欧拉定理

对于任何正整数 n 和整数 a，如果 a 和 n 互质（即它们的最大公因数是1），则有：

$$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$

其中，φ(n) 是欧拉函数，它表示小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。

费马小定理

如果 p 是一个素数，而 a 是不可被 p 整除的整数，那么：
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$
这个定理的条件是 a 不能被 p 整除，所以当 a 和 p 互质时，费马小定理就成立。

扩展欧几里得定理

裴蜀定理

裴蜀定理（Bézout’s Identity），也称为贝祖等式，是一个数论中的重要定理，它表明对于任何两个整数 a 和 b 的最大公约数（最大公因数），存在整数 x 和 y，使得它们可以表示为：

$a\ast x+b\ast y=gcd(a,b)$

裴蜀定理的一个重要结论是，如果 a 和 b 的最大公约数是 1（即 a 和 b 互质），那么存在整数 x 和 y，使得：

$a\ast x+b\ast y=1$

扩展欧几里得定理的内容

对于任何整数 a 和 b，存在整数 x 和 y，使得它们的最大公约数 d = gcd(a, b) 可以表示为：

$a\ast x+b\ast y=d$

简单推导

• 如果 a = 0，那么 a 和 b 的最大公约数就是 b，此时等式可以表示为：

  $0\ast x+b\ast y=b$

  这显然成立，因为 b * y = b，可以取 x = 0 和 y = 1。

• 一般情况下， 我们考虑 a 不等于 0 的情况

  $ax+by=gcd(a,b)$

  而 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$

  $b{x}_1+(a\%b)y_1=gcd(b,a\%b)$

  而 $a\%b=a-kb=a-\left[\frac{a}{b}\right]b$

  $ax+by=b{x}_1+(a-\left[\frac{a}{b}\right]b)y_1$

  $ax+by=b{x}_1+a{y}_1-\left[\frac{a}{b}\right]b{y}_1$

  $ax+by=a{y}_1+b(x_1-\left[\frac{a}{b}\right]y_1)$

  所以 $x=y_1,y=x_1-\left[\frac{a}{b}\right]y_1$

代码实现

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y){if(b == 0){x=1, y=0;return a;}ll d = exgcd(b, a%b, x, y);ll t = x;x = y;y = t - a / b * y;return d;
}

乘法逆元

对于一个整数 a 和一个正整数 n，a 在模 n 下的乘法逆元是另一个整数 x，使得：

$$ax\equiv 1(\mathrm{mod}n)$$
这意味着 a 与 x 的乘积模 n 后等于 1。如果存在这样的 x，那么 a 在模 n 下就有乘法逆元。

乘法逆元的存在性取决于 a 和 n 之间的关系。如果 a 与 n 互质（它们的最大公约数是1），则 a 在模 n 下一定有乘法逆元。

快速幂

ll qpow(ll a, ll b, ll mod) {ll ans = 1;while (b) {if (b & 1) ans = ans * a % mod;b >>= 1;a = a * a % mod;}return ans;
}

快速乘

ll qmul(ll a, ll b, ll mod){ll ans = 0;while (b) {if(b & 1){ans = (ans + a) % mod;}a = (a + a) % mod;b >>= 1;}return ans;
}

质因子分解（试除法）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;struct fac{int p, cnt;fac(){}fac(int pp, int cntt) : p(pp), cnt(cntt){}
}; vector<fac> divide(int n){vector<fac> a;for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) {int cntt = 0; while (n % i == 0) {cntt++;n /= i;}a.push_back(fac(i, cntt));}	}if (n > 1) {a.push_back(fac(n, 1));}return a;
}int main(){int x;cin >> x;vector<fac> a = divide(x);for (int i = 0; i < a.size(); i++) {cout << "p: " << a[i].p << " cnt: " << a[i].cnt << endl;}return 0;
}

素数筛选

Eratosthenes筛

bool notprime[N];
int prime[N];
void Eratos(int n) {notprime[1] = 1;prime[0] = 0;for(int i = 2; i <= n; i++) {if (!notprime[i]) {prime[++prime[0]] = i;}for (ll j = (ll)i * i; j <= n; j += i) {notprime[j] = 1;}}
}

欧拉筛（线性筛）

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;
const int maxn = 1e8 + 5;
int prime[maxn];
bool notprime[maxn];int n, q, k;
void sieve() {notprime[1] = 1;prime[0] = 0;for(int i = 2; i <= maxn; i++) {if (!notprime[i]) {prime[++prime[0]] = i;}for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= maxn; j++) {notprime[i * prime[j]] = 1;if(i % prime[j] == 0)	break;}}
}int main(){sieve();scanf("%d%d", &n, &q);while (q--) {scanf("%d", &k);printf("%d\n", prime[k]);}return 0;
}