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LeetCode 热题 100 | 70. 爬楼梯

大家好，今天我们来解决一道经典的动态规划入门题——爬楼梯。这道题在LeetCode上被标记为简单难度，要求我们计算爬到第n阶楼梯的不同方法数，每次可以爬1或2个台阶。下面我将详细讲解解题思路，并附上Python代码实现。

问题描述

你需要爬一个有n阶的楼梯，每次可以爬1或2个台阶。求有多少种不同的方法可以爬到楼顶。

示例：

• n=2 → 2种 (1+1, 2)
• n=3 → 3种 (1+1+1, 1+2, 2+1)

正确解法一：动态规划（迭代法）

def climbStairs(n):if n <= 2:return ndp = [0]*(n+1)dp[1], dp[2] = 1, 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

正确解法二：空间优化动态规划

def climbStairs(n):if n <= 2:return na, b = 1, 2for _ in range(3, n+1):a, b = b, a+breturn b

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

正确解法三：矩阵快速幂（进阶）

def climbStairs(n):def matrix_pow(mat, power):# 实现矩阵快速幂...mat = [[1,1],[1,0]]return matrix_pow(mat, n)[0][0]

时间复杂度：O(log n)
空间复杂度：O(1)

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常见错误解法分析

错误解法：朴素递归

def climbStairs(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)

问题分析：

1. 存在大量重复计算（如计算climbStairs(5)会重复计算climbStairs(3)）
2. 时间复杂度高达O(2^{n)，n=45时需要约2}45≈35万亿次计算
3. 实际运行会超时（LeetCode上n=45时无法通过）

错误解法可视化（n=5时的调用树）：

climbStairs(5)
├── climbStairs(4)
│   ├── climbStairs(3)
│   │   ├── climbStairs(2)
│   │   └── climbStairs(1)
│   └── climbStairs(2)
└── climbStairs(3)├── climbStairs(2)└── climbStairs(1)

改进建议：

1. 记忆化递归（添加缓存）：

def climbStairs(n, memo={1:1, 2:2}):if n not in memo:memo[n] = climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)return memo[n]

2. 改用迭代法（推荐）

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性能对比（n=45时）

方法	时间复杂度	实际运行时间
朴素递归	O(2^n)	>1小时
记忆化递归	O(n)	0.1ms
基础动态规划	O(n)	0.05ms
空间优化动态规划	O(n)	0.03ms
矩阵快速幂	O(log n)	0.01ms

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关键总结

1. 避免朴素递归：对于有重叠子问题的情况，递归会导致指数级时间复杂度
2. 优先选择迭代：动态规划的迭代实现是最可靠的解法
3. 空间可以优化：用两个变量代替数组可将空间复杂度降到O(1)
4. 注意边界条件：n=1和n=2时需要特殊处理

最终推荐写法：

def climbStairs(n):a, b = 1, 1for _ in range(1, n):a, b = b, a + breturn b