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AVL树简介
AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）是一种自平衡的二叉搜索树（BST），由G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis在1962年提出。它的特点是任何节点的两个子树的高度最大差别为1，因此也被称为高度平衡树。
AVL树的特点
- 二叉搜索树性质：左子树中所有节点的值小于根节点的值，右子树中所有节点的值大于根节点的值，且左右子树也分别是AVL树。
- 高度平衡：对于任意节点，其左右子树的高度差的绝对值不超过1[5]。
- 平衡因子：每个节点都有一个平衡因子，定义为该节点的左子树高度减去右子树高度的差值。在AVL树中，平衡因子的值只能是0、1或-1。
AVL树的作用
AVL树通过控制高度差来保持平衡，确保树的高度始终保持在对数级别，避免了树结构退化成链表的风险。这使得所有操作（查找、插入、删除）的时间复杂度为 O ( log N ) O(\log N) O(logN)。
AVL树的旋转操作
在插入或删除节点时，可能会改变AVL树某些子树的平衡因子，因此需要进行旋转操作。旋转操作是AVL树保持平衡的关键操作。根据节点平衡因子的不同，可能需要进行以下四种旋转操作：
左单旋（Left Rotation）
用途：用于解决右子树过高的情况。当某个节点的平衡因子为2时，表示其右子树的高度比左子树高2层，需要通过左单旋来恢复平衡。
过程：
- 设需要旋转的节点为
N，其右子节点为R，R的左子节点为L。 - 将
R提升为N的父节点。 - 将
N设为R的左子节点。 - 将
L设为N的右子节点。 - 更新相关节点的平衡因子和高度。
示意图：
N R/ \ / \null R => null N/ \ / \L null null L
右单旋（Right Rotation）
用途：用于解决左子树过高的情况。当某个节点的平衡因子为-2时，表示其左子树的高度比右子树高2层，需要通过右单旋来恢复平衡。
过程：
- 设需要旋转的节点为
N，其左子节点为L，L的右子节点为R。 - 将
L提升为N的父节点。 - 将
N设为L的右子节点。 - 将
R设为N的左子节点。 - 更新相关节点的平衡因子和高度。
示意图：
N L/ \ / \L null => null N/ \ / \null R R null
左右双旋（Left-Right Rotation）
用途：用于解决左子树的右子树过高的情况。当某个节点的平衡因子为2，且其左子树的平衡因子为-2时，需要通过左右双旋来恢复平衡。
过程：
- 先对左子节点进行右单旋。
- 再对当前节点进行左单旋。
示意图：
N B/ \ / \A B => A N/ \ / \ / \ / \null C null D C null null D
右左双旋（Right-Left Rotation）
用途：用于解决右子树的左子树过高的情况。当某个节点的平衡因子为-2，且其右子树的平衡因子为2时，需要通过右左双旋来恢复平衡。
过程：
- 先对右子节点进行左单旋。
- 再对当前节点进行右单旋。
示意图：
N B/ \ / \A B => A N/ \ / \ / \ / \null C null D C null null D
旋转操作的实现细节
在实现旋转操作时，需要注意以下几点：
- 更新平衡因子和高度：在每次旋转操作后，需要更新相关节点的平衡因子和高度。高度可以通过递归方式计算，平衡因子则根据左右子树的高度差来计算。
- 处理父节点指针：在旋转操作中，需要正确处理父节点指针，确保树结构的完整性。特别是在双旋操作中，需要分别处理两个旋转步骤中的父节点指针。
- 递归调整：在旋转操作后，可能需要继续向上调整父节点的平衡因子和高度，确保整个树结构的平衡性。这可以通过递归方式实现，直到根节点为止。
AVL树的性能分析
AVL树通过保持高度平衡，确保所有操作的时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。这使得AVL树在对数据进行操作时的效率最大化。
AVL树的实现
AVL树的每个节点除了包含普通的二叉搜索树数据外，还需要包含一个平衡因子和高度。节点结构通常包含以下数据：
- 节点的值
- 左右子节点指针
- 父节点指针（三叉链结构）
- 平衡因子
在实现AVL树时，需要定义辅助函数来计算节点的高度和更新平衡因子，并实现旋转操作来调整树的结构，使其保持平衡。
总结
AVL树通过保持高度平衡，确保所有操作的时间复杂度为 O ( log N ) O(\log N) O(logN)，避免了树结构退化成链表的风险。它的核心思想是通过平衡因子来保持树的平衡，并通过旋转操作来恢复平衡。这使得AVL树在对数据进行操作时的效率最大化。