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一 肘部法则

在K-means算法中，对于确定K（簇的数目），我们经常使用肘部法则。 肘部法则是一种用于确定在k均值聚类算法中使用的质心数（k）的技术。 在这种方法中，为了确定k值，我们连续迭代k=1到k=n（这里n是我们根据要求选择的超参数）。对于k的每个值，我们计算簇内平方和（WCSS）值。

WCSS -每个样本到簇内中心点的距离偏差之和。

现在，为了确定最佳的聚类数（k），我们绘制了k与它们的WCSS值的关系图。令人惊讶的是，该图看起来像一个肘部（我们将在后面看到）。此外，当k=1时，WCSS具有最高值，但随着k值的增加，WCSS值开始减小。我们从图开始看起来像直线的地方选择k值。

二 实战

下面我们将分4步实现肘部法则。首先，我们将创建随机数据集点，然后我们将在此数据集上应用k均值，并计算1到4之间的k的wcss值。

1. 导入所需库

   from sklearn.cluster import KMeans
   from sklearn import metrics
   from scipy.spatial.distance import cdist
   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt
   

2. 创建和可视化数据

   我们将创建一个随机数组并将其分布可视化

   # Creating the data
   x1 = np.array([3, 1, 1, 2, 1, 6, 6, 6, 5, 6,\7, 8, 9, 8, 9, 9, 8, 4, 4, 5, 4])
   x2 = np.array([5, 4, 5, 6, 5, 8, 6, 7, 6, 7, \1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 9, 10, 9, 10])
   X = np.array(list(zip(x1, x2))).reshape(len(x1), 2)# Visualizing the data
   plt.plot()
   plt.xlim([0, 10])
   plt.ylim([0, 10])
   plt.title('Dataset')
   plt.scatter(x1, x2)
   plt.show()
   

   

   从上面的可视化中，我们可以看到集群的最佳数量应该在3左右。但是，仅仅可视化数据并不能总是给予正确的答案。

   定义一个 Distortion = 1/n * Σ(distance(point, centroid)^2)， 通常，使用欧几里得距离度量。

   Inertia = Σ(distance(point, centroid)^2)是样本到其最近聚类中心的平方距离之和。

   我们将k的值从1迭代到n，并计算每个k值的Distortion，给定范围内每个k值的Inertia。

3. 构建聚类模型并计算Distortion和Inertia的值

   distortions = []
   inertias = []
   mapping1 = {}
   mapping2 = {}
   K = range(1, 10)for k in K:# Building and fitting the modelkmeanModel = KMeans(n_clusters=k).fit(X)kmeanModel.fit(X)distortions.append(sum(np.min(cdist(X, kmeanModel.cluster_centers_,'euclidean'), axis=1)) / X.shape[0])inertias.append(kmeanModel.inertia_)mapping1[k] = sum(np.min(cdist(X, kmeanModel.cluster_centers_,'euclidean'), axis=1)) / X.shape[0]mapping2[k] = kmeanModel.inertia_
   

4. 列表和可视化结果

   （1）使用不同的Distortion值：

   for key, val in mapping1.items():print(f'{key} : {val}')
   

   输出：

   1 : 3.625551331197001
   2 : 2.0318238533112596
   3 : 1.2423303391744152
   4 : 0.8367738708386461
   5 : 0.736979754424859
   6 : 0.6898254810112422
   7 : 0.6020311621770951
   8 : 0.5234596363982826
   9 : 0.4587221418509788
   

   接下来我们将绘制k与WCSS的关系图:

   plt.plot(K, distortions, 'bx-')
   plt.xlabel('Values of K')
   plt.ylabel('Distortion')
   plt.title('The Elbow Method using Distortion')
   plt.show()
   

   

   （2）使用不同的Inertia：

   for key, val in mapping2.items():print(f'{key} : {val}')
   

   输出：

   1 : 312.95238095238096
   2 : 108.07142857142856
   3 : 39.51746031746031
   4 : 17.978571428571428
   5 : 14.445238095238096
   6 : 11.416666666666668
   7 : 9.266666666666667
   8 : 7.25
   9 : 6.5
   

   plt.plot(K, inertias, 'bx-')
   plt.xlabel('Values of K')
   plt.ylabel('Inertia')
   plt.title('The Elbow Method using Inertia')
   plt.show()
   

   

   为了确定聚类的最佳数量，我们必须选择“弯头”处的k值，即distortion/inertia开始以线性方式减小的点。因此，对于给定的数据，我们得出结论，数据的最佳聚类数是4。

我们将绘制针对不同k值聚类的数据点的图像。为此，我们将通过迭代k值的范围来对数据集应用k-means算法。

import matplotlib.pyplot as plt# Create a range of values for k
k_range = range(1, 5)# Initialize an empty list to
# store the inertia values for each k
inertia_values = []# Fit and plot the data for each k value
for k in k_range:kmeans = KMeans(n_clusters=k, \init='k-means++', random_state=42)y_kmeans = kmeans.fit_predict(X)inertia_values.append(kmeans.inertia_)plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y_kmeans)plt.scatter(kmeans.cluster_centers_[:, 0],\kmeans.cluster_centers_[:, 1], \s=100, c='red')plt.title('K-means clustering (k={})'.format(k))plt.xlabel('Feature 1')plt.ylabel('Feature 2')plt.show()# Plot the inertia values for each k
plt.plot(k_range, inertia_values, 'bo-')
plt.title('Elbow Method')
plt.xlabel('Number of clusters (k)')
plt.ylabel('Inertia')
plt.show()