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回溯法（Backtracking）是一种通过试错来寻找问题解决方案的算法。其核心思想是逐步构建解，当发现当前路径无法得到有效解时，回溯到上一步，尝试其他可能性。它通常用于解决组合优化、排列组合、约束满足等问题（如八皇后、数独、全排列等）。
核心思想
- 试错与回退：逐步尝试可能的解，遇到无效分支立即回退。
- 剪枝（Pruning）：提前终止不可能产生有效解的路径，减少搜索空间。
- 递归实现：通过递归函数处理每一步的选择，天然适合分步构建解。
算法框架
result = [] # 保存最终结果def backtrack(路径, 选择列表):if 满足结束条件:result.add(路径)returnfor 选择 in 选择列表:if 选择不合法（剪枝条件）:continue做选择（将选择加入路径）backtrack(新路径, 新选择列表)撤销选择（从路径中移除选择）
关键步骤
- 路径：已做出的选择（如当前已选的元素）。
- 选择列表：当前可选的元素。
- 结束条件：路径满足问题约束，成为一个有效解。
- 剪枝条件：提前跳过无效选择（如重复元素、违反约束等）。
经典问题示例
1. 全排列（Permutations）
问题：给定数组 [1,2,3]，返回所有可能的排列。
解法：
def permute(nums):res = []def backtrack(path, used):if len(path) == len(nums):res.append(path.copy())returnfor i in range(len(nums)):if not used[i]:used[i] = Truebacktrack(path + [nums[i]], used)used[i] = False # 回溯backtrack([], [False]*len(nums))return res
2. 八皇后问题（N-Queens）
问题：在N×N棋盘放置N个皇后，使其互不攻击。
解法：
def solveNQueens(n):res = []def backtrack(board, row):if row == n:res.append([''.join(row) for row in board])returnfor col in range(n):if isValid(board, row, col):board[row][col] = 'Q'backtrack(board, row + 1)board[row][col] = '.' # 回溯# 初始化棋盘并开始回溯board = [['.']*n for _ in range(n)]backtrack(board, 0)return res
优化策略
- 剪枝：根据问题特性提前排除无效路径（如组合问题中限制起始位置）。
- 记忆化：缓存已处理状态，避免重复计算（适用于重叠子问题）。
- 交换法：通过交换元素减少空间复杂度（如全排列问题）。
时间复杂度
- 通常为指数级，例如：
- 全排列：O(n!)
- 子集问题：O(2^n)
- 剪枝能显著降低实际运行时间。
适用场景
- 需要穷举所有可能解的问题。
- 问题可分解为多步决策，且每一步有有限选择。
- 约束条件明确，便于剪枝优化。
回溯法通过系统性的试探与回退，结合剪枝策略，能高效解决许多复杂的组合问题。
参考：
演算法學習筆記：回溯法（Backtracking）& 分支定界法（Branch and Bound）