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矩阵在图形学中扮演着核心角色，几乎所有图形变换、投影和空间转换都依赖矩阵运算来实现高效计算。以下是矩阵在图形学中的主要作用及具体应用：

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1. 几何变换

矩阵乘法可以高效表示物体的平移、旋转、缩放等基本变换，并通过矩阵连乘实现复合变换：

• 平移（Translation）：
  通过齐次坐标（4×4矩阵）表示三维平移：
  $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& t_x\\ 0& 1& 0& t_y\\ 0& 0& 1& t_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
• 旋转（Rotation）：
  绕X/Y/Z轴的旋转用3×3或4×4矩阵表示。例如绕Z轴旋转：
  $$\left[\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0\\ \sin \theta & \cos \theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
• 缩放（Scaling）：
  $$\left[\begin{array}{ccc}{s}_x& 0& 0\\ 0& s_y& 0\\ 0& 0& s_z\end{array}\right]$$

优势：通过矩阵乘法链（如 ( T \cdot R \cdot S )）将多个变换合并为单个矩阵，提升计算效率。

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2. 坐标空间转换

图形管线中，顶点需要从局部坐标逐步转换到屏幕坐标，每一步都依赖矩阵乘法：

1. 模型矩阵（Model Matrix）：局部坐标 → 世界坐标。
2. 视图矩阵（View Matrix）：世界坐标 → 相机坐标系（通过LookAt矩阵实现）。
3. 投影矩阵（Projection Matrix）：
   • 透视投影（Perspective）：模拟近大远小效果。
   • 正交投影（Orthographic）：保持平行线不变。

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3. 投影变换

• 透视投影矩阵：将视锥体映射到立方体（NDC空间），产生深度感。
  $$\left[\begin{array}{cccc}\frac{2n}{r-l}& 0& \frac{r+l}{r-l}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{t+b}{t-b}& 0\\ 0& 0& -\frac{f+n}{f-n}& -\frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& -1& 0\end{array}\right]$$

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4. 法向量变换

物体变换时，法向量需通过逆转置矩阵（Inverse Transpose Matrix）保持正确方向：
$${\mathbf{N}}_{\text{new}}=({\mathbf{M}}^{-1}{)}^T{\mathbf{N}}_{\text{original}}$$

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5. 骨骼动画

在蒙皮动画中，矩阵用于表示骨骼的变换层级（骨骼空间→模型空间），顶点权重混合多个骨骼矩阵实现平滑变形。

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6. 光线追踪与着色

• 变换光线：将光线从世界坐标转换到物体局部坐标以简化求交计算。
• 切线空间矩阵（TBN矩阵）：将法线贴图从切线空间转换到模型空间。

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7. GPU优化

矩阵运算（如MVP矩阵）在着色器中通过并行计算高效执行，现代GPU针对4×4矩阵乘法有硬件优化。

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总结

矩阵是图形学的“数学语言”，其核心价值在于：

• 统一性：所有变换均可表示为矩阵运算。
• 可组合性：通过矩阵乘法合并复杂操作。
• 硬件友好：适合GPU并行计算。

理解矩阵变换是掌握图形编程的基础。