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目录
一、基本概念
时间复杂度
空间复杂度
二、常见复杂度分类
时间复杂度常见情况
空间复杂度常见情况
三、如何分析复杂度
时间复杂度分析步骤
空间复杂度分析步骤
四、复杂度对比图表
时间复杂度增长趋势
常见算法复杂度汇总
五、实际应用中的注意事项
一、基本概念
时间复杂度
定义：算法执行所需要的时间与输入数据规模之间的关系，表示算法运行时间的增长趋势。
通俗理解：当数据量增大时，算法执行时间会如何变化。
空间复杂度
定义：算法执行所需要的存储空间与输入数据规模之间的关系，表示算法内存占用的增长趋势。
通俗理解：当数据量增大时，算法需要多少额外的内存空间。
二、常见复杂度分类
时间复杂度常见情况
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O(1) - 常数时间
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无论数据量多大，执行时间不变
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例子：访问数组中的某个元素
python
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def get_first_element(arr):return arr[0] # 无论arr多大，都只做一次操作
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O(log n) - 对数时间
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数据量翻倍时，时间只增加固定量
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例子：二分查找
python
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def binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr)-1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1
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O(n) - 线性时间
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执行时间与数据量成正比
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例子：遍历数组
python
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def find_max(arr):max_val = arr[0]for num in arr: # 遍历所有元素if num > max_val:max_val = numreturn max_val
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O(n log n) - 线性对数时间
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比线性慢，但比平方快
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例子：快速排序、归并排序
python
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# 快速排序的复杂度为O(n log n)
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O(n²) - 平方时间
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数据量翻倍，时间变为4倍
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例子：嵌套循环
python
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def bubble_sort(arr):n = len(arr)for i in range(n): # 外层循环n次for j in range(n-1): # 内层循环n-1次if arr[j] > arr[j+1]:arr[j], arr[j+1] = arr[j+1], arr[j]
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O(2ⁿ) - 指数时间
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数据量增加1，时间翻倍
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例子：斐波那契数列递归解法
python
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def fibonacci(n):if n <= 1:return nreturn fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
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O(n!) - 阶乘时间
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最慢的复杂度之一
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例子：旅行商问题的暴力解法
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空间复杂度常见情况
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O(1) - 常数空间
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算法使用的额外空间不随输入规模变化
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例子：交换两个变量
python
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def swap(a, b):temp = a # 只用了1个额外变量a = bb = temp
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O(n) - 线性空间
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额外空间与输入规模成正比
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例子：复制数组
python
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def copy_array(arr):new_arr = [] # 创建与输入等大的新数组for num in arr:new_arr.append(num)return new_arr
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O(n²) - 平方空间
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额外空间与输入规模的平方成正比
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例子：构建二维矩阵
python
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def create_matrix(n):matrix = [[0]*n for _ in range(n)] # n×n的矩阵return matrix
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O(log n) - 对数空间
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递归调用时的栈空间
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例子：二分查找的递归实现
python
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def binary_search_recursive(arr, target, low, high):if low > high:return -1mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return midelif arr[mid] < target:return binary_search_recursive(arr, target, mid+1, high)else:return binary_search_recursive(arr, target, low, mid-1)
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三、如何分析复杂度
时间复杂度分析步骤
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找出基本操作（通常是循环内的操作）
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计算基本操作的执行次数与n的关系
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忽略低阶项和常数系数
示例分析：
python
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def example(n):sum = 0 # O(1)for i in range(n): # 循环n次sum += i # O(1)的操作执行n次 → O(n)return sum # O(1)
总时间复杂度：O(1) + O(n) + O(1) = O(n)
空间复杂度分析步骤
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计算算法使用的额外存储空间（不包括输入数据本身）
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考虑变量、数据结构、递归调用栈等
示例分析：
python
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def example(n):arr = [0]*n # 创建了长度为n的数组 → O(n)for i in range(n):arr[i] = ireturn arr
总空间复杂度：O(n)（因为创建了大小为n的数组）
四、复杂度对比图表
时间复杂度增长趋势
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n O(1) O(log n) O(n) O(n log n) O(n²) O(2ⁿ) O(n!) ----------------------------------------------------------------- 1 1 0 1 0 1 2 1 10 1 ~3.3 10 ~33 100 1024 ~3.6e6 100 1 ~6.6 100 ~664 10,000 1.27e30 9.33e157
常见算法复杂度汇总
| 算法 | 时间复杂度(平均) | 时间复杂度(最坏) | 空间复杂度 |
|---|---|---|---|
| 线性查找 | O(n) | O(n) | O(1) |
| 二分查找 | O(log n) | O(log n) | O(1) |
| 冒泡排序 | O(n²) | O(n²) | O(1) |
| 快速排序 | O(n log n) | O(n²) | O(log n) |
| 归并排序 | O(n log n) | O(n log n) | O(n) |
| 哈希表查找 | O(1) | O(n) | O(n) |
| 深度优先搜索(DFS) | O(V+E) | O(V+E) | O(V) |
| 广度优先搜索(BFS) | O(V+E) | O(V+E) | O(V) |
五、实际应用中的注意事项
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时间与空间的权衡：
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有时可以用更多空间换取更快的时间（如哈希表）
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有时可以牺牲时间换取更少的空间使用
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隐藏的复杂度：
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内置函数的复杂度（如Python的list.sort()是O(n log n)）
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递归调用的空间复杂度（调用栈深度）
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最佳、平均和最坏情况：
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快速排序平均是O(n log n)，但最坏是O(n²)
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哈希表查找平均是O(1)，但冲突时可能退化到O(n)
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实际工程中的考量：
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小数据量时，简单算法可能更快
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缓存友好性有时比理论复杂度更重要
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理解时间复杂度和空间复杂度是写出高效算法的关键，希望这个解释能帮助你建立清晰的概念框架！