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wzjs 2025/7/22 16:33:23

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交叉熵损失函数（Cross-Entropy Loss）

交叉熵损失函数，涉及两个概念，一个是损失函数，一个是交叉熵。

首先，对于损失函数。在机器学习中，损失函数就是用来衡量我们模型的预测结果与真实结果之间“差距”的函数。这个差距越小，说明模型的表现越好；差距越大，说明模型表现越差。我们训练模型的目标，就是通过不断调整模型的参数，来最小化这个损失函数。以一个生活化的例子举例，想象一下你在教一个孩子识别猫和狗。孩子每次猜对或猜错，你都会给他一个“评分”。如果他猜对了，评分就很高（损失很小）；如果他猜错了，评分就可能很低（损失很大）。

在明白完损失函数后，就要理解交叉熵了，在理解交叉熵之前我们又要了解何为熵。熵在信息论中是衡量一个随机变量不确定性（或者说信息量）的度量。不确定性越大，熵就越大。根据信息论中的香农定理，我们可以得出熵的计算公式为：

其中，P(xi)是事件xi发生的概率。- log(P(xi)) 表示信息量，根据公式我们可以知道信息量大小与概率成负相关，概率越小的时间其信息量越大，如飞机失事；概率越大的时间其信息量越小，如太阳从东边升起。

谈完熵之后，我们来开始理解何为交叉熵？

交叉熵是衡量两个概率分布之间“相似性”的度量。更准确地说，它衡量的是，当我们使用一个非真实的概率分布 Q 来表示一个真实的概率分布 P 时，所需要付出的“代价”或“信息量”。交叉熵的计算公式为：

注意，这里的 P(xi) 通常是one-hot编码形式，即在分类问题中，只有真实类别对应的 P(xi) 为1，其他为0。

二分类交叉熵

在二分类问题中，当你的模型需要判断一个输入是A类还是B类（比如是猫还是狗，是垃圾邮件还是正常邮件）时，你会使用二分类交叉熵。

真实标签 (y)：通常用0或1表示。例如，猫是1，狗是0。
模型预测概率 ( $\widehat{y}$ )：模型输出的属于类别1的概率，通常通过Sigmoid激活函数得到，范围在0到1之间。

二分类交叉熵公式为：

直观理解：

如果真实标签 y=1（比如是猫）：损失函数变为 −log( $\widehat{y}$ )。此时，如果 $\widehat{y}$ 接近1（模型预测是猫的概率很高），log( $\widehat{y}$ ) 就接近0，损失就小；如果 $\widehat{y}$ 接近0（模型预测是猫的概率很低），log( $\widehat{y}$ ) 就变成一个很大的负数，损失就大。
如果真实标签 y=0（比如是狗）：损失函数变为 −log(1− $\widehat{y}$ )。此时，如果 $\widehat{y}$ 接近0（模型预测是狗的概率很高），1− $\widehat{y}$ 接近1，log(1− $\widehat{y}$ ) 接近0，损失就小；如果 $\widehat{y}$ 接近1（模型预测是狗的概率很低），1− $\widehat{y}$ 接近0，log(1− $\widehat{y}$ ) 变成一个很大的负数，损失就大。

多分类交叉熵

当你的模型需要判断一个输入是N个类别中的哪一个（比如是猫、狗、还是鸟）时，你会使用多分类交叉熵。

真实标签 (y)：通常是one-hot编码。例如，猫是 [1,0,0]，狗是 [0,1,0]，鸟是 [0,0,1]。
模型预测概率 ( $\widehat{y}$ )：模型输出的属于每个类别的概率分布，通常通过Softmax激活函数得到，所有概率之和为1。

多分类交叉熵的公式为：

其中，N 是类别的数量，yi 是真实标签中第 i 个类别的指示（0或1）， $\widehat{y}$ i 是模型预测第 i 个类别的概率。

直观理解：

由于真实标签 y 是one-hot编码，只有真实类别 k 对应的 yk 是1，其他 yi 都是0。所以，这个求和公式实际上只计算了真实类别对应的预测概率的负对数。
举例：如果真实标签是猫 [1,0,0]，模型预测是 [0.8(猫),0.1(狗),0.1(鸟)]。损失 =−(1⋅log(0.8)+0⋅log(0.1)+0⋅log(0.1))=−log(0.8)。如果模型预测是 [0.1(猫),0.8(狗),0.1(鸟)]。损失 =−(1⋅log(0.1)+0⋅log(0.8)+0⋅log(0.1))=−log(0.1)。显然，−log(0.1) 比 −log(0.8) 要大很多，说明模型预测猫的概率很低时，损失会很大，这符合我们的直觉。

KL散度（Kullback-Leibler Divergence)

KL散度和交叉熵很像，只不过交叉熵是硬标签，KL散度是软标签，因此KL散度也称为相对熵，是衡量两个概率分布 P 和 Q 之间差异的非对称度量。它量化了当使用概率分布 Q 来近似概率分布 P 时所损失的信息量。KL散度主要用于拉近真实分布和近似分布的表达，去让近似分布尽可能接近真实分布，因为越近似，其除法越近于1，log()越接近于0。其计算公式为：

其中，P为真实分布，Q为近似分布。我们将其展开，可得到以下公式：

可以看到当P(xi)为1时，这时就变成交叉熵了。

KL散度特性

非负性（涉及数学的非负性证明）：KL(P∣∣Q)≥0（因为P和Q不相等的话，即P/Q>1），只有当 P 和 Q 是完全相同的分布时（此时P/Q = 1），KL(P∣∣Q)=0。
非对称性：KL(P∣∣Q) 不等于 KL(Q∣∣P) 。KL(P∣∣Q)是惩罚 Q 在 P 概率高的地方给出低概率。KL(Q∣∣P)惩罚 Q 在 P 概率低的地方给出高概率。
度量的是“信息损失”：它衡量的是当你用 Q 来编码 P 时，额外需要多少比特的信息。