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量化噪声是在将模拟信号转换为数字信号的量化过程中产生的噪声。以下为你详细介绍:

1. 量化的基本概念

在模拟信号数字化过程中,采样是对模拟信号在时间上进行离散化,而量化则是对采样值在幅度上进行离散化。由于模拟信号的取值是连续的,而数字信号的取值是离散的有限个值,所以在量化时,需要将模拟信号的采样值映射到最接近的离散量化电平上,这种映射过程不可避免地会产生误差,这种误差就表现为量化噪声。

2. 量化噪声的定义与特性

量化噪声 e q ( t ) e_q(t) eq(t) 定义为模拟信号 x a ( t ) x_a(t) xa(t) 的采样值 x a ( n T s ) x_a(nT_s) xa(nTs) 与量化后的数字信号 x q ( n T s ) x_q(nT_s) xq(nTs) 之间的差值,即:
e q ( t ) = x a ( n T s ) − x q ( n T s ) e_q(t)=x_a(nT_s) - x_q(nT_s) eq(t)=xa(nTs)xq(nTs)
其中 T s T_s Ts 为采样周期, n n n 为采样点序号。

通常假设量化噪声具有以下特性(在一定条件下成立):

  • 量化噪声是平稳的随机过程。
  • 量化噪声与输入信号不相关。
  • 量化噪声在量化间隔内服从均匀分布。

3. 均匀量化时量化噪声的功率计算

对于均匀量化,设量化间隔为 Δ \Delta Δ,量化噪声 e q e_q eq 在区间 [ − Δ 2 , Δ 2 ] [-\frac{\Delta}{2}, \frac{\Delta}{2}] [2Δ,2Δ] 上服从均匀分布。根据连续型随机变量的概率密度函数定义, e q e_q eq 的概率密度函数 p ( e q ) p(e_q) p(eq) 为:
p ( e q ) = { 1 Δ , − Δ 2 ≤ e q ≤ Δ 2 0 , 其他 p(e_q) = \begin{cases} \frac{1}{\Delta}, & -\frac{\Delta}{2} \leq e_q \leq \frac{\Delta}{2} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} p(eq)={Δ1,0,2Δeq2Δ其他

根据随机变量的方差公式 σ 2 = E [ ( X − E [ X ] ) 2 ] \sigma^2 = E[(X - E[X])^2] σ2=E[(XE[X])2],对于均匀分布的量化噪声 e q e_q eq,其均值 E [ e q ] E[e_q] E[eq] 为:
E [ e q ] = ∫ − Δ 2 Δ 2 e q p ( e q ) d e q = ∫ − Δ 2 Δ 2 e q Δ d e q = 0 E[e_q] = \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} e_q p(e_q) de_q = \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} \frac{e_q}{\Delta} de_q = 0 E[eq]=2Δ2Δeqp(eq)deq=2Δ2ΔΔeqdeq=0

量化噪声的功率(即方差 σ e q 2 \sigma_{e_q}^2 σeq2)为:
σ e q 2 = E [ e q 2 ] = ∫ − Δ 2 Δ 2 e q 2 p ( e q ) d e q = ∫ − Δ 2 Δ 2 e q 2 Δ d e q \sigma_{e_q}^2 = E[e_q^2] = \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} e_q^2 p(e_q) de_q = \int_{-\frac{\Delta}{2}}^{\frac{\Delta}{2}} \frac{e_q^2}{\Delta} de_q σeq2=E[eq2]=2Δ2Δeq2p(eq)deq=2Δ2ΔΔeq2deq = Δ 2 12 =\frac{\Delta^2}{12} =12Δ2

4. 量化噪声对信号质量的影响

量化噪声会降低数字信号处理系统的信号质量,通常用信噪比(SNR)来衡量信号质量的好坏。对于满量程输入的正弦波信号 x a ( t ) = A sin ⁡ ( ω t ) x_a(t)=A\sin(\omega t) xa(t)=Asin(ωt),其信号功率 P s P_s Ps A 2 2 \frac{A^2}{2} 2A2(假设正弦波的峰值为 A A A)。

在均匀量化中,若量化间隔为 Δ \Delta Δ,且假设输入信号满量程,则 A = 2 N − 1 Δ A = 2^{N - 1}\Delta A=2N1Δ N N N 为量化位数)。此时,信号功率 P s = ( 2 N − 1 Δ ) 2 2 P_s = \frac{(2^{N - 1}\Delta)^2}{2} Ps=2(2N1Δ)2,量化噪声功率 P e q = Δ 2 12 P_{e_q}=\frac{\Delta^2}{12} Peq=12Δ2

那么,量化信噪比 S N R = P s P e q SNR = \frac{P_s}{P_{e_q}} SNR=PeqPs,将 P s P_s Ps P e q P_{e_q} Peq 代入可得:
S N R = ( 2 N − 1 Δ ) 2 2 Δ 2 12 = 3 2 × 2 2 N SNR = \frac{\frac{(2^{N - 1}\Delta)^2}{2}}{\frac{\Delta^2}{12}} = \frac{3}{2} \times 2^{2N} SNR=12Δ22(2N1Δ)2=23×22N
用分贝(dB)表示为:
S N R d B = 10 log ⁡ 10 ( 3 2 × 2 2 N ) = 6.02 N + 1.76 dB SNR_{dB} = 10\log_{10}(\frac{3}{2} \times 2^{2N}) = 6.02N + 1.76 \text{ dB} SNRdB=10log10(23×22N)=6.02N+1.76 dB

这表明,量化位数 N N N 越高,量化信噪比越高,量化噪声对信号质量的影响越小,数字信号越接近原始模拟信号。

http://www.dtcms.com/wzjs/517224.html

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