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0-1背包：有n个物品，第i个物品的体积为w[i]，价值为v[i]，每个物品至多选择一个，求体积和不超过capacity的最大价值和。

对于第i个物品，我们只有两种选择：选，或者不选。如果选，那么背包的剩余容量减少w[i].如果不选，那么背包的剩余容量不变。

而问题实际上是：在剩余容量为c时，从前i个物品中得到的最大价值和为多少？

根据分析，我们可以进一步拆分这个问题。如果不选，那么子问题就为：在剩余容量为c时，从前i-1个物品中得到的最大价值和为多少？如果选，那么子问题就为：在剩余容量为c-w[i]时，从前i-1个物品中得到的最大价值和为多少？

显然可以用动态规划了。

第一步：确定dp数组的意思：dp[i][j]表示：从第0-i种物品中挑选，放进容量为j的背包里，得到的最大价值和。

第二步：初始化dp数组（对边界情况进行处理）：当背包容量为0时，无法装下物品，因此价值为0，由此可令dp[i][0]==0；当选择物品的范围为0-0时，意味着我们只能选第一个物品，那么最大价值和只能为v[0]，由此可令dp[0][i]==v[0].

第三步：填充。由上可知，要么选，要么不选。但是我们不能忘记选择权从何而来：背包的剩余容量大于等于物品体积。如果不是，那么直接不选。如果是，那么就根据前面的分析进一步处理。如果不选则dp[i][j]=dp[i-1][j].如果选，那么dp[i][j]=dp[i][j-w[i]]+v[i].选择二者中的最大值即可。

int backpack01(int kinds, int capacity, vector<int>& w, vector<int>& v)
{//kinds表示物品数量，capacity表示背包总容量，w[i]表示第i+1个物品的体积，v[i]表示第i+1个物品的价值vector<vector<int>>dp(kinds, vector<int>(capacity + 1, 0));//初始化：//1.背包容量为0时，无法装下物品，最大价值和为0for (int i = 0; i < kinds; i++){dp[i][0] = 0;}//2.只有一种物品时，只能选择第一个物品，最大价值和为v[0]for (int i = 0; i <= capacity; i++){dp[0][i] = v[0];}//填充for (int i = 1; i < kinds; i++)//物品编号{for (int j = 1; j <= capacity; j++)//背包剩余容积{if (j < w[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];//容不下当前物品，只能不选else{dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}}}return dp[kinds - 1][capacity];
}

我们发现，dp[i][?]只与dp[i-1][?]有关，因此我们可以对空间复杂度进行优化，用一个一维数组dp滚动处理即可。

int backpack01(int kinds, int capacity, vector<int>& w, vector<int>& v)
{vector<int>dp(capacity + 1, 0);//dp[i]表示：背包容量为i时里面物品的最大价值和dp[0] = 0;//背包容量为0，装不下物品，最大价值和为0for (int i = 0; i < w.size(); i++)//外层循环：控制某一种物品{for (int j = capacity; j >= w[i]; j--)//内层循环：对于该种物品进行处理{dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);}}return dp[capacity];
}

关键点：j从capacity开始倒着处理。为什么要倒着处理？实际上，我们可以用“双数组”的理念去理解（双数组滚动也可以，只不过单数组空间复杂度更优，用双数组滚动更容易想象）。我们退化成两个数组，数组a用来保存上一轮的dp值，数组b用来填充接下来的dp值。前面我们说过，dp[i][x]实际上只由dp[i-1][x]决定，所以填充b只需要依赖a中的值。但也正因如此，我们在填充b的时候，就不能改变a中的值了。我们现在只有一个数组，如果我们从前往后处理，那么相当于：我们在填充b中dp值时，它所依赖的a中的dp值已经被改变了。所以我们需要从后往前处理，因为填充依赖前面的原始数据。两个关键词：前面的+原始。

同时我们还进行了一点优化：j>=w[i].这意味着我们不需要再判断当前背包的容量是否能够装下物品了，因为这时候物品已经定下来了（外层循环控制）。所以小于w[i]的j必然都装不下，就不用处理了。

看一道具体的题目：

2915. 和为目标值的最长子序列的长度 - 力扣（LeetCode）

本题中：下标相当于物品编号，下标对应的值相当于物品的体积，target相当于背包的容量，长度相当于价值。

int lengthOfLongestSubsequence(vector<int>& nums, int target)
{if (accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0) < target) return -1;int kinds = nums.size(), capacity = target;vector<int>dp(capacity + 1, -1);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < kinds; i++){for (int j = capacity; j >= nums[i]; j--){if (dp[j - nums[i]] != -1)//注意这里{dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + 1);}}}return dp[capacity];
}

为什么需要判断dp[j-nums[i]]是否等于-1？

我们先来想想等于-1意味着什么。dp[j-nums[i]]==-1意味着：在考虑前i个元素时，无法组成和为j-nums[i]的子序列。而只有当存在j-nums[i]的子序列时，我们才能通过添加当前元素nums[i]来得到和为j的子序列。

因此，如果dp[j-nums[i]]等于-1，那意味着没有基础来构建dp[j]，所以不能更新。