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动态规划解决最小路径和问题

1. 题目链接

LeetCode 64. 最小路径和

2. 题目描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid，从网格的左上角出发，每次只能向右或向下移动一步，最终到达右下角。要求找到一条路径，使得路径上的数字总和最小。

3. 示例分析

示例输入：

grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]
]

输出：7
解释：最小路径为 1 → 3 → 1 → 1 → 1，路径和为 1 + 3 + 1 + 1 + 1 = 7。

4. 算法思路

动态规划（Dynamic Programming）

定义 dp[i][j] 表示从起点 (0,0) 到达位置 (i-1,j-1) 的最小路径和。为了简化边界条件的处理，将 dp 数组的维度扩展为 (m+1) x (n+1)，并初始化所有值为 INT_MAX。

状态转移方程

对于每个位置 (i, j)，其最小路径和由上方或左方的最小路径和决定：
dp[i][j] = grid[i-1][j-1] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
其中，grid[i-1][j-1] 是当前位置的值，dp[i-1][j] 是上方的路径和，dp[i][j-1] 是左方的路径和。

初始化

• dp[0][1] = 0：设置一个虚拟起点 dp[0][1] 的值为0，使得起点 dp[1][1] 的值可以正确计算为 grid[0][0] + 0。
• 其余位置初始化为 INT_MAX，表示尚未计算。

5. 边界条件与注意事项

1. 单行或单列网格：当 m=1 或 n=1 时，路径是唯一的，直接累加所有元素即可。
2. 索引转换：dp[i][j] 对应网格中的 grid[i-1][j-1]，需要注意索引偏移。
3. 虚拟起点的作用：通过 dp[0][1] = 0 避免了在循环中单独处理起点 (1,1) 的初始化问题。
4. 输入为空的情况：题目假设输入为非空网格，但实际代码中需注意 grid[0].size() 可能越界。

6. 代码实现

class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {int m = grid.size(), n = grid[0].size();vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));dp[0][1] = 0; // 虚拟起点，用于初始化 dp[1][1]for (int i = 1; i <= m; i++) {for (int j = 1; j <= n; j++) {dp[i][j] = grid[i - 1][j - 1] + min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}return dp[m][n];}
};

代码解释

1. 初始化 dp 数组：通过 dp[0][1] = 0 使得起点 (1,1) 的值为 grid[0][0]。
2. 填充 dp 数组：遍历每个位置，根据上方和左方的最小值更新当前路径和。
3. 返回结果：最终结果存储在 dp[m][n]，表示到达右下角的最小路径和。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(mn)，遍历整个网格。
• 空间复杂度：O(mn)，使用了 (m+1) x (n+1) 的 dp 数组。

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通过动态规划方法，能够高效解决二维网格中的最小路径和问题，适用于机器人导航、资源分配等实际场景。