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题目要求在两个有序数组中找到中位数。由于时间复杂度要求为 O(log(m+n))，因此不能简单地将两个数组合并后再找中位数，而是需要用二分查找的思路来解决。
解决思路：二分查找
将问题转化为在两个有序数组中寻找第 k小的数，其中 k 是中位数的位置。
具体步骤：
1. 如果两个数组的总长度是偶数，则中位数是第 k小和第 k+1小的数的平均值。
2. 如果总长度是奇数，则中位数是第 k_小的数。
3. 通过二分查找，每次排除一半的元素，逐步缩小查找范围。
代码实现
#include <algorithm>
#include <climits>
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int m = nums1.size();
int n = nums2.size();
int total = m + n;
if (total % 2 == 1) {
// 总长度为奇数，返回第 k 小的数
return findKthElement(nums1, nums2, total / 2 + 1);
} else {
// 总长度为偶数，返回第 k 小和第 k+1 小的数的平均值
double left = findKthElement(nums1, nums2, total / 2);
double right = findKthElement(nums1, nums2, total / 2 + 1);
return (left + right) / 2.0;
}
}
private:
// 寻找第 k 小的元素
int findKthElement(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2, int k) {
int m = nums1.size();
int n = nums2.size();
int index1 = 0, index2 = 0;
while (true) {
// 边界情况
if (index1 == m) {
return nums2[index2 + k - 1];
}
if (index2 == n) {
return nums1[index1 + k - 1];
}
if (k == 1) {
return min(nums1[index1], nums2[index2]);
}
// 正常情况
int newIndex1 = min(index1 + k / 2 - 1, m - 1);
int newIndex2 = min(index2 + k / 2 - 1, n - 1);
int pivot1 = nums1[newIndex1];
int pivot2 = nums2[newIndex2];
if (pivot1 <= pivot2) {
k -= (newIndex1 - index1 + 1);
index1 = newIndex1 + 1;
} else {
k -= (newIndex2 - index2 + 1);
index2 = newIndex2 + 1;
}
}
}
};
复杂度分析
1. 时间复杂度：_O(log(m+n))_，每次排除一半的元素。
2. 空间复杂度：_O(1)_，只使用了常数级别的额外空间。
边界情况
1. 一个数组为空：直接返回另一个数组的中位数。
2. 两个数组长度相等：需要处理偶数长度的中位数计算。
3. 所有元素都在一个数组中：需要确保不会越界。
总结
通过二分查找，可以在 O(log(m+n)) 的时间内找到两个有序数组的中位数。关键在于将问题转化为寻找第 k小的元素，并通过排除一半的元素逐步缩小查找范围。