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wzjs 2025/8/27 7:06:01

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问题引入

位图

定义

问题引入

有一道经典的面试题：有40亿个无序无符号整数，要求你高效判断一个数是否在这堆数中。

想法一：暴力查找似乎能够解决问题，但显然找一次就要消耗O(N)的时间，这是不能接受的；

想法二：问题的本质是查找，因此想到使用高效的二分查找：

先进行一次O(N logN)的排序，之后的每次查找都只要O(logN)。

想法二的改进很不错，将时间消耗降到了一个可接受的范围，但却只考虑了时间，没考虑空间。

由于1GB = 1024MB = 1024*1024 KB = 1024*1024*1024 B，所以40亿个整数大致是16GB，而一个程序能给你这么多内存吗？二分的下标索引需要在内存中进行，如果放在外存上，索引效率就不行了，也就无法进行二分查找。

这可如何是好啊！？但既然是高效查找，就还应该有想法三：哈希映射。可尽管如此，哈希表也仍然会遇到内存不够的问题。

既然两个想法都被空间所限制，所以决定在空间上进行优化。

既然内存不够，“压缩”一下内存，不就够了？

位图

定义

位图是一种基于直接定址的紧凑数据结构，通过将整数索引映射到二进制bit位上以存储状态信息。

核心原理就是建立高效的直接定址的映射关系：

传统数组的整数索引需至少占用1 byte(bool)来进行状态表示；

位图将整数索引映射到int型（4byte = 32 bit）的每一bit位上，只需要一bit位就能进行状态表示。即一个int就能表示32个数的独立状态，实现了显著的空间压缩效果，提高了32倍的空间利用率。

C++库里的bitset

【1】在C++库里的 bitset 的主要常用接口：

bitset& set (size_t pos, bool val = true); 将pos位置 置1

bitset& reset (size_t pos); 将pos位置 置0

bool test (size_t pos) const; 返回pos位置的状态

【2】C++库里的 bitset 是用静态数组实现，追求极致性能换取编译器优化。但如此在栈上开的空间就可能不够，没办法直接开辟UINT_MAX的空间（下列都不行）。

std::bitset<-1> bs1;
std::bitset<UINT_MAX> bs2;
std::bitset<0xffffffff> bs3;

但是总是有办法的，在栈上开不出来，就去堆上开。

auto pbs = new bitset<UINT_MAX>();

实现

模拟实现一个简易的位图，但我不追求极致性能，所以底层用动态数组。

template<size_t N>class bitset {public:bitset(){_bits.resize(N / 32 + 1);}void set(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;_bits[i] |= (1 << j);}void reset(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;_bits[i] &= (~(1 << j));}bool test(size_t pos) {size_t i = pos / 32;size_t j = pos % 32;return (_bits[i] >> j) & 1;}private:std::vector<int> _bits;};