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wzjs 2025/8/27 4:19:13

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特征值分解（Eigenvalue Decomposition）

课程目标：

理解 特征值（Eigenvalue） 和 特征向量（Eigenvector） 的概念
掌握 特征值分解（Eigendecomposition） 的基本原理
学会计算 矩阵的特征值和特征向量
了解特征值分解在 数据降维（PCA）、物理、计算机视觉 等领域的应用

第一部分：特征值和特征向量

1.1 特征值和特征向量的定义

对于一个 n x n 方阵 A ，如果存在一个非零向量 v 和一个标量 λ，使得：
$\lambda v$
那么：
v称为矩阵A的特征向量Eigenvector
λ称为矩阵A的特征值Eigenvalue

直观理解：

特征向量 是在矩阵变换时 方向不变 的向量（只会被放大或缩小）。
特征值 描述了变换时向量的缩放比例。

1.2 计算特征值

从方程 A v = λ v 变形得到：(A - λI) v = 0 为了求解 v，需要 A - λI 是奇异矩阵（即行列式为 0）：
$\det(A - \lambda I) = 0$
这个方程称为 特征方程（Characteristic Equation），解出 λ 即得到 特征值。

示例：计算 2×2 矩阵的特征值

$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$
求特征方程：
$\det \begin{bmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{bmatrix} = 0 \\\ (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \times 1) = 0 \\\ 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 = 0 \\\ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0$
解这个二次方程：
$(\lambda - 5)(\lambda - 2) = 0$
所以特征值：
$\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2$

1.3 计算特征向量

将每个特征值代入(A - λI) v = 0 求解对应的特征向量。

对于 λ₁ = 5：
$\\ \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
解得特征向量：
$v_1 = k \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$

对于 λ₁ = 2：
$\\\ \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$
解得特征向量：
$v_2 = k \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$

第二部分：特征值分解（Eigendecomposition）

2.1 特征值分解的定义

如果矩阵 A 可对角化，则它可以分解为：
$A = P D P^{-1}$
其中：

P 是由 特征向量 组成的矩阵
D 是对角矩阵，其对角线元素是 特征值
P^-1 是 P 的逆矩阵

2.2 示例：计算特征值分解

设：
$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$
已经求得特征值：
$\lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2$
以及特征向量：
$v_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
构造矩阵P：
$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$
构造对角矩阵D：
$\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
计算 P^-1，最终验证：
$A = P D P^{-1}$

第三部分：特征值分解的应用

主成分分析（PCA）：用于数据降维
图像处理：特征分解可以用于压缩、去噪
振动分析：用于研究物理系统的固有频率
微分方程：求解动态系统

第四部分：Python 实现

import numpy as np# 定义矩阵
A = np.array([[4, 2], [1, 3]])# 计算特征值和特征向量
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(A)print("特征值：", eigenvalues)
print("特征向量：\n", eigenvectors)