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题目

有两种形状的瓷砖：一种是 2 x 1 的多米诺形，另一种是形如 “L” 的托米诺形。两种形状都可以旋转。
给定整数 n ，返回可以平铺 2 x n 的面板的方法的数量。返回对 109 + 7 取模 的值。
平铺指的是每个正方形都必须有瓷砖覆盖。两个平铺不同，当且仅当面板上有四个方向上的相邻单元中的两个，使得恰好有一个平铺有一个瓷砖占据两个正方形。

一、代码实现（动态规划+滚动数组优化）

func numTilings(n int) int {const mod = 1e9 + 7if n == 0 {return 1}if n <= 2 {return []int{0, 1, 2}[n]}a, b, c := 1, 1, 2for i := 3; i <= n; i++ {next := (2*c + a) % moda, b, c = b, c, next}return c
}

二、算法分析

1. 核心思路

• 递推关系：发现状态转移方程dp[n] = 2*dp[n-1] + dp[n-3]
• 滚动数组优化：仅维护前三个状态值降低空间复杂度
• 边界处理：直接处理n=0,1,2的特殊情况

2. 关键步骤

1. 初始化状态：a=dp[0]=1, b=dp[1]=1, c=dp[2]=2
2. 迭代计算：
   • 根据递推式更新当前状态
   • 滚动更新前三个状态值
3. 结果返回：最终c即为所求值

3. 复杂度

指标	值	说明
时间复杂度	O(n)	线性遍历到目标位置
空间复杂度	O(1)	仅使用三个临时变量

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三、图解示例

四、边界条件与扩展

1. 特殊场景验证

• n=0：空面板返回1种方法
• n=1：只能竖直铺多米诺返回1
• n=2：两种铺法（两竖直/两水平）返回2
• 大数测试：验证模运算正确性

2. 扩展应用

• 三维铺砖：扩展到三维空间铺砖问题
• 动态瓷砖：处理可变形状瓷砖的铺法
• 艺术设计：生成具有美学的铺砖图案

3. 多语言实现

class Solution {public int numTilings(int n) {final int MOD = 1000000007;if (n == 0) return 1;if (n <= 2) return new int[]{0,1,2}[n];int a = 1, b = 1, c = 2;for (int i = 3; i <= n; i++) {int next = (2*c % MOD + a) % MOD;a = b;b = c;c = next;}return c;}
}

class Solution:def numTilings(self, n: int) -> int:MOD = 10**9 +7if n ==0: return 1if n <=2: return [0,1,2][n]a, b, c = 1, 1, 2for _ in range(3, n+1):a, b, c = b, c, (2*c +a) % MODreturn c

五、总结与优化

1. 算法对比

方法	优势	适用场景
动态规划	时间复杂度最优	常规场景
矩阵快速幂	O(log n)时间复杂度	极大n值计算
记忆化递归	代码直观	小规模计算

2. 工程优化

• 预计算缓存：存储常用值加速重复查询
• 并行计算：分段计算合并结果
• SIMD优化：利用向量指令加速计算

3. 扩展方向

• 非对称瓷砖：处理不同尺寸瓷砖的组合
• 彩色铺法：考虑颜色搭配的排列组合
• 拓扑约束：引入连通性等拓扑限制条件