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引言

在前序对机器学习的探究过程中，我们已经深刻体会到人工智能到处都有微分求导运算，相关文章链接包括且不限于：
BP神经网络
逻辑回归
对于pytorch张量，求导运算必不可少，所以本次就专门来学习一下。

f-string的用法

f-string是python语言里面一种简洁且强大的字符串格式化方法，对内容的引用和输出较为高效。

确实也可以不适用f-string，但刚好学习到导数计算比较简单，所以就一起学习一下。

f-string以“f”或“F”开头，用单引号“‘”和“’”引用自由添加的字符串，如果要引用变量，就用大括号“{}”包起来。

常规输出

常规输出格式：f+‘输出内容+{“引用内容”}’。示例代码：

h = 0.1234567
print(f'h当前值：{h}')

​
这个代码的运行效果：h当前值：0.1234567

控制小数位数输出

常规输出格式：f+‘输出内容+{“引用内容:.xf”}’。

“引用内容:.xf”的意思是，对浮点数f，保留x位小数。示例代码：

h = 0.1234567
print(f'h当前值：{h}')
print(f'h当前值(1位小数)：{h:.1f}')
print(f'h当前值(3位小数)：{h:.3f}')
print(f'h当前值(5位小数)：{h:.5f}')
print(f'h当前值(8位小数)：{h:.8f}')
print(f'h当前值(10位小数)：{h:.10f}')

由图2可见，h的当前值按照x的设置量调整了小数位数。

如果想把代码写得紧凑，比如写成一个for循环，上述代码可优化为：

h = 0.1234567
print(f'h当前值：{h}')
print(f'h当前值(1位小数)：{h:.1f}')
print(f'h当前值(3位小数)：{h:.3f}')
print(f'h当前值(5位小数)：{h:.5f}')
print(f'h当前值(8位小数)：{h:.8f}')
print(f'h当前值(10位小数)：{h:.10f}')
for i in range(10):print(f'h当前值保留{i}位小数：{h:.{i}f}')

需要注意的是，引用的变量应该用大括号"{}"包起来。

代码运行效果为：

pytorch导数

计算导数的定义式为：
$$f^{{}^{\prime }}(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
基于此，继续优化代码：

h = 0.1234567
print(f'h当前值：{h}')
print(f'h当前值(1位小数)：{h:.1f}')
print(f'h当前值(3位小数)：{h:.3f}')
print(f'h当前值(5位小数)：{h:.5f}')
print(f'h当前值(8位小数)：{h:.8f}')
print(f'h当前值(10位小数)：{h:.10f}')
for i in range(5):print(f'h当前值保留{i}位小数：{h:.{i}f}')# 定义原函数
def f(x):return 3*x**2-3*x# 定义求导函数
def numerical_lim(f, x, h):return (f(x + h) - f(x)) / h# 修改偏移量
h=0.1
for i in range(10):print(f'h={h:.5f}.时的函数值为{f(h):.5f},导数值为{numerical_lim(f,1,h):.8f}')h*=0.1

这里先定义了原函数：

def f(x):
return 3x**2-3x

然后定义了原函数的导数：

def numerical_lim(f, x, h):
return (f(x + h) - f(x)) / h

最后通过改变自变量偏移量的形式，不断逼近导数的真实值：

h=0.1 for i in range(10):
print(f’h={h:.5f}.时的函数值为{f(h):.5f},导数值为{numerical_lim(f,1,h):.8f}')
h*=0.1

代码运行后的效果为：

可见，随着偏移量的减小，在x=1位置处，函数f(x)的导数值不断趋向准确值3。

细节说明

由于小数位数的限制，如果继续减小h到h=0.000 000 000 000 000 100，函数f(x)的值和导数值都会变成0。
对此有两种解释：

1. x此时本身是无穷小量，在f(x)=3x**2-3x中，极小的x计算了平方后，已经远远小于x本身，函数f(x)的值和导数值都是无穷小量，计算效果输出0。
2. Python 的 float 类型使用 IEEE 754 双精度 64 位浮点数，提供约15-17位十进制有效数字，一旦超出就可能不准。h=0.000000000000000100的1出现在第16位，此时的计算结果就会出现不准。

可运行此时的代码测试：

h = 0.1234567
print(f'h当前值：{h}')
print(f'h当前值(1位小数)：{h:.1f}')
print(f'h当前值(3位小数)：{h:.3f}')
print(f'h当前值(5位小数)：{h:.5f}')
print(f'h当前值(8位小数)：{h:.8f}')
print(f'h当前值(10位小数)：{h:.10f}')
for i in range(5):print(f'h当前值保留{i}位小数：{h:.{i}f}')# 定义原函数
def f(x):return 3*x**2-3*x# 定义求导函数
def numerical_lim(f, x, h):return (f(x + h) - f(x)) / h# 修改偏移量
h=0.1
for i in range(20):print(f'i={i},h={h:.18f}.时的函数值为{f(h):.18f},导数值为{numerical_lim(f,1,h):.18f}')h*=0.1

总结

学习了pytorch导数运算和相关的f-string使用方法。