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1.集合的概念
离散数学是围绕集合的概念而建立的，集合可以描述为“由一些任意确定的、彼此有区别的对象所组成的一个整体”。集合中的对象称为该集合中的元素，通常用大写英文字母表示集合，小写英文字母表示元素。
如果a是集合S中的元素，则记为a∈S，读作“a属于S”，如果a不是S中的元素，则记为a∉S，读作“a不属于S”。自然数集合用N表示，整数集合用Z表示，有理数集合用Q表示，实数集合用R表示。
若集合的元素个数为有限个，称为有限集，反之，若集合的元素个数为无限个，则为无限集。
使用"sympy"数学计算库创建一个有限集A={1,2,3}：
A = sym.FiniteSet(1,2,3)
-
FiniteSet是SymPy提供的类，用于表示数学上的有限集合。
输出这个集合A：
print(A)
输出为：
{1, 2, 3} # 可以看到输出结果转为了我们使用的花括号的形式表示。
可使用has()函数判断元素1是否属于集合A：
print(A.has(1))
输出为：
True # 元素 1 属于集合 A。
（1）子集
假设我们从一个集合U中分出两个小集合A和B，若集合A中的元素都存在于集合B，则称集合A为集合B的子集，记为A⊆B。当集合A中的元素全部存在于集合B，而集合B中的元素不完全存在于集合A，则称集合A为集合B的真子集，记为A⊂B。子集有如下性质：
若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；
若A⊂B，且B⊆C，则A⊂C；
若A⊆B，且B⊂C，则A⊂C；
若A⊂B，且B⊂C，则A⊂C。
用 Python 语言表示第一个性质：
A = sym.FiniteSet(1,2,3) # 创建集合A={1,2,3}
B = sym.FiniteSet(1,2,3,4) # 创建集合B={1,2,3,4}
C = sym.FiniteSet(1,2,3,4,5) # 创建集合C={1,2,3,4,5}
print(A <= B) # 判断A是否为B的子集
print(B <= C) # 判断B是否为C的子集
print(A <= C) # 判断A是否为C的子集
输出为：
True
True
True
符合第一个性质结论。
<= 运算符 在 SymPy 中表示 子集（subset）关系：
-
A <= B检查 A⊆B（即A的所有元素是否都在B中）。 -
类似地，
B <= C检查 B⊆C，A <= C检查 A⊆C
< 运算符 在 SymPy 中表示 真子集（Proper Subset）关系：
A < B（A是B的子集且A != B）
（2）空集
我们将没有元素的集合，即元素个数为 0 的集合，称为空集，反之称为非空集。空集使用∅或{}表示，空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。
空集可以使用"sympy"表示为：
D = sym.FiniteSet() # 直接使用有限集函数创建，不添加元素
print(D) # 输出空集 D
结果为：
EmptySet()
（3）集合表示法
①列举法：列出集合中的全部元素或者仅列出一部分元素，其余用省略号 (· · · ) 表示。元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来。
②描述法：用P (x)表示x具有性质P，用{ x | P(x) } 表示具有性质P的全体元素组成的集合。
2. 集合的基本运算
（1）并：AÈB = { x | xÎA Ú xÎB }
例如：全集为全体整数，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∪B={1,2,3,4,5,6}。使用 Python 的“sympy”库表示为：
A = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4)
B = sym.FiniteSet(3, 4, 5, 6)
C = sym.Union(A, B) # 使用并运算函数
print(C) # 输出结果集合C
结果为：
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
（2）交：AÇB = { x | xÎA Ù xÎB }
例如：全集为全体整数，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A∩B={3,4}。
使用 Python 的“sympy”库表示为：
A = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4)
B = sym.FiniteSet(3, 4, 5, 6)
C = sym.Intersection(A, B) # 使用交运算函数
print(C) # 输出结果集合C
结果为：
{3, 4}
（3）相对补：A-B = { x | xÎA Ù xÏB }
例如：全集为全体整数，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A−B={1,2}
使用 Python 的“sympy”库表示为：
A = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4)
B = sym.FiniteSet(3, 4, 5, 6)
C = A - B
print(C) # 输出结果集合C
结果为：
{1, 2}
（4）对称差：AÅB = (A-B)È(B-A) = (AÈB)-(AÇB)
例如：全集为全体整数，集合A={1,2,3,4}，集合B={3,4,5,6}，则A⊕B={1,2,5,6}
使用 Python 的“sympy”库表示为：
A = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4)
B = sym.FiniteSet(3, 4, 5, 6)
C = sym.Union(A, B) - sym.Intersection(A, B) # 对称差运算
print(C) # 输出结果集合C
结果为：
{1, 2, 3, 4}
（5）绝对补：~A = E-A= { x | xÏA }
例如：全集E={1,2,3,4,5}，集合A={1,2,3,4}，则E-A={5}
使用 Python 的 “sympy” 库表示为：
E = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4, 5)
A = sym.FiniteSet(1, 2, 3, 4)
E.is_UniversalSet # 设置E为全集
C = A.complement(E) # 使用补运算函数
print(C) # 输出结果集合C
结果为：
{5}