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前置知识

完全可以以K-means为例子来理解

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一、背景知识：隐变量与EM算法的应用

1. 隐变量（Latent Variable）

• 定义：隐变量是数据中无法直接观测但影响观测数据分布的变量。
• 示例：
◦ 在混合高斯模型（GMM）中，每个样本属于哪个高斯分布是未知的隐变量。
◦ 在文本主题模型中，每篇文档的主题分布是隐变量。
• 核心作用：因此，需要通过对隐变量建模复杂数据分布，解决“不完全数据”的参数估计问题。

2. EM算法的用途

• 核心功能：在存在隐变量或数据缺失时，估计模型参数。

（事实上的分布参数与隐变量分布相互耦合）我们的核心目的是要估计分布参数

• 典型场景：
• 聚类分析（如K-Means、GMM）。
• 隐马尔可夫模型（HMM）的参数学习。
• 主题模型（如LDA）。
• 数据补全（如缺失属性值的估计）。

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二、EM算法的思想与流程

实际上是通过交替优化 (Q(Z)) 和 (\theta)，避开直接求解复杂耦合问题。

1. 核心思想：两步迭代优化

EM算法通过交替执行以下两步，逐步逼近参数的最优解：
• E步（Expectation）：基于当前分布参数估计隐变量的分布（计算后验概率）。 固定分布参数，估计隐变量
• M步（Maximization）：基于隐变量的分布更新分布参数，最大化对数似然的下界。 固定隐变量，最大化对数似然下界来更新分布参数

直观类比：K-Means与EM的关系
• 隐变量：样本所属的类别（簇标签）。
• 参数：簇中心（类中心）。
• 迭代过程：

1. E步：将样本分配到最近的簇（固定簇中心，估计隐变量）。
2. M步：重新计算簇中心（固定隐变量，更新参数）。

2. 算法流程

步骤	说明
输入	观测数据 $X$，隐变量 $Z$，联合分布 $P(X,Z|\theta )$，初始参数 ${\theta }^{(0)}$。
迭代直至收敛
E步	计算隐变量的后验概率： $Q(Z)=P(Z|X,{\theta }^{(t)})$。
M步	更新参数： ${\theta }^{(t+1)}=\arg {\max }_{\theta }{\sum }_{Z}Q(Z)\ln P(X,Z|\theta )$。
输出	参数 $\theta$ 和隐变量分布 $Q(Z)$。

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三、数学原理：Jensen不等式与下界优化

1. 边缘似然的困境

• 目标函数为对数边缘似然：
$$L(\theta )=\ln P(X\Vert \theta )=\ln \sum _{Z}P(X,Z\Vert \theta )$$
• 直接优化困难：对隐变量 $Z$ 求和的对数难以求导。

2. Jensen不等式的应用

• 引入隐变量的分布 $Q(Z)$，构造下界：
$$L(\theta )\ge \sum _{Z}Q(Z)\ln \frac{P(X,Z\Vert \theta )}{Q(Z)}$$
• E步：固定 $\theta$，选择 $Q(Z)=P(Z\Vert X,{\theta }^{(t)})$，使下界紧贴 $L(\theta )$。
• M步：固定 $Q(Z)$，优化 $\theta$以提升下界，从而推高 $L(\theta )$。

为什么要转最大化对数似然为最大化对数似然下界

• Jensen不等式
  对于凸函数 $f(x)$，有：
  $$f\left(\mathbb{E}[x]\right)\le \mathbb{E}[f(x)]$$
  • 对于凹函数 (f(x))（如对数函数 (\ln(x))），有：
  $$f\left(\mathbb{E}[x]\right)\ge \mathbb{E}[f(x)]$$
• 构造下界函数
  引入隐变量的分布 $Q(Z)$（需满足 ${\sum }_{Z}Q(Z)=1$），将边缘似然 $L(\theta )$ 转换为期望形式：
  $$L(\theta )=\ln \sum _{Z}Q(Z)\cdot \frac{P(X,Z|\theta )}{Q(Z)}$$
  根据 Jensen不等式（应用于凹函数 $\ln (x)$）：
  $$\ln \sum _{Z}Q(Z)\cdot \frac{P(X,Z|\theta )}{Q(Z)}\ge \sum _{Z}Q(Z)\cdot \ln \frac{P(X,Z|\theta )}{Q(Z)}$$
  记下界函数为：
  $$J(\theta ,Q)=\sum _{Z}Q(Z)\cdot \ln \frac{P(X,Z|\theta )}{Q(Z)}$$
  即 $L(\theta )\ge J(\theta ,Q)$，最大化 $J(\theta ,Q)$ 即可提升 $L(\theta )$。

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四、EM vs 梯度下降：为什么选择坐标下降？

方法	优化策略	优势场景
梯度下降	同时对 (\theta) 和隐变量求导，同步更新。	适用于目标函数光滑且可导的简单问题。
坐标下降	交替优化 (\theta) 和隐变量（分E步和M步）。	处理非凸问题、隐变量耦合的复杂目标函数（如EM）。

• 关键原因：当目标函数存在隐变量耦合时，直接求导不可行，而分步优化（固定一个变量，优化另一个）简化计算。

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五、总结

• 隐变量：EM通过建模隐变量解决不完全数据问题。
• 两步走：E步计算隐变量期望，M步最大化似然下界。
• 数学本质：通过Jensen不等式构造可优化的下界，分步逼近最优解。
• 应用场景：聚类、主题模型、缺失数据补全等需隐变量建模的任务。

每次迭代中，E步让下界紧贴当前似然值，M步提升下界（从而推高似然值）。通过这种交替优化的策略，EM算法成为处理隐变量问题的经典工具，兼具理论严谨性与实践可行性。