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wzjs 2025/8/24 10:06:24

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今天我们继续学习各个激活函数层的实现过程。

5.2 Sigmoid层

六、Affine/Softmax层实现

6.1 Affine层

6.2 批处理版本

5.2 Sigmoid层

sigmoid函数的表达式如下：

$y=\frac{1}{1+exp(-x)}$

用计算图表示的话如下：

计算过程稍微有些复杂，且这里除了乘法和加法还出现了新的运算符号 exp以及除法“/”，exp节点会进行y=exp(x)的计算，“/”节点会进行 $y=\frac{1}{x}$ 的计算。

下面我们按照流程求出计算图的反向传播。

1、节点/：表示的是 $y=\frac{1}{x}$ ，则导数可以用高等数学的方法求解得到为： $\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{1}{x^{2}}=-y^{2}$ ,那么我们就知道了，在反向传播的时候，上游的值乘以-y2（正向传播的输出平方后取相反数）传给下游。则，除法的反向传播结果为：

2、节点+：这个之前已经讨论过，直接将上游导数原封不动传给下游，不再赘述：

3、节点exp：表示的是 $y=e^{x}$ ,其解析式的导数与原式相同，故将上游导数乘以 $e^{x}$ （正向传播时的输出）传至下游。在我们这个例子中是 $e^{-x}$

4、节点×：这里我们之前也讨论过，将上游的导数乘以输入值的翻转值后传至下游即可：

这样我们就得到了最终的反向传播计算图。

最后得到的这个结果中我们只用到了正向传播中的输入x和输出y，故我们可以在反向传播时简化中间的过程，直接得到最后的结果：

简化后的计算图省去了sigmoid函数计算过程中的繁杂步骤，只保留了输入和输出。另外，我们还可以对反向传播结果的值进一步简化：

$\frac{\partial L}{\partial y}y^{2}exp(-x)=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{1}{(1+exp(-x))^{2}}exp(-x)=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{1}{1+exp(-x)}\frac{exp(-x)}{1+exp(-x)}=\frac{\partial L}{\partial y}y(1-y)$

在上述公式的基础上，我们就可以用python实现sigmoid函数类：

Class sigmoid：def __init__(sekf):self.out = None # 因为反向传播需要用到输出y 所以这里记录输出值def forward(self,x):out = 1 / (1+np.exp(-x))return outdef backward(self,dout)：dx = dout * self.out * (1.0 - self.out)return dx

可以看到，sigmoid函数在初始化时保存了输出值y，是因为反向传播时会用到这个输出y。

六、Affine/Softmax层实现

6.1 Affine层

神经网络的正向传播在计算加权信号的总和时，会使用到矩阵乘积，也就是Numpy中的dot点积函数，例如下面的代码片：

X = np.random.rand(2) # 输入
W = np.random.rand(2,3) #权重
B = np.random.rand(3) #偏置项X.shape #(2,)
W.shape #(2,3)
B.shape #(3,)Y = np.dot(X,W) + B

这里XWB形状分别是(2,)、(2,3)、(3,)的多维数组。这样加权计算就可以用最后一行的表达式实现，Y再经过激活函数的转换后将结果传递给下一层，这就是神经网络的正向传播。矩阵的乘积必须保证对应维度一致如下面的例子：

神经网络的正向传播中进行的矩阵的乘积运算在几何学领域被称为“仿射变换”。因此，这里将进行仿射变换的处理实现为“Affine层”.(仿射变换包括一次线性变换和一次平移，分别对应神经网络的加权和运算与加偏置运算)

下面我们看一个比较简单的Affine层计算图：

这里实现的就是上面我们代码所展示的过程，这里都是矩阵乘积和加减，之前我们学习的计算图中的各个节点都是标量，这里传播的节点都是矩阵。相当于从一维提升至二维。

现在我们考虑一下这个计算图的反向传播，步骤其实和标量的计算图一致。

首先加号，反向传播导数值不变，所以Y、X*W和B的导数值均为 $\frac{\partial L}{\partial Y}$ ,L为最终输出值。

其次是点积，其实和标量中的乘法相同，所以X和W的导数值是上游导数值与反转后的输入值相乘的结果。最终得到这样的结果：

$\frac{\partial L}{\partial X}=\frac{\partial L}{\partial Y}*W^{T}$

$\frac{\partial L}{\partial W}=X^{T}*\frac{\partial L}{\partial Y}$

这里由于是矩阵乘法，所以要考虑维度的匹配，这里的上标T表示矩阵的转置，即行列互换。

可以看到初始W矩阵为(2,3)，则转置后的矩阵维度为(3,2)

计算完成之后我们尝试写出计算图的反向传播：

左边为我们标识了每个矩阵的维度，千万记住保证矩阵的维度匹配，否则会报错。

我们再来看看每个变量的形状：这里可以看到X和 $\frac{\partial L}{\partial X}$ 相同，W和 $\frac{\partial L}{\partial W}$ 相同。

6.2 批处理版本

之前学习的Affine层输入都是一个单独的数据X，现在我们要考虑N个数据的情况，即批处理版本的Affine层。

先给出批处理版本的计算图：

现在的输入形状为(N,2)，反向传播时要注意观察矩阵的形状，这样就可以推导出X和W的导数值。

还要注意的是，偏置项B在正向传播时会加到每个数据上，例子如下：

正向传播的偏置项会给每一个元素添加，故在反向传播中，各个数据的反向传播导数值需要汇总为偏置的元素。代码表示如下:

这里sum函数中的两个参数分别是原始数组和按轴相加，axis=0则表示按照数组的第0轴（即以数据为单位的轴）的方向上进行求和。

综上所述，我们的Affine层实现如下：

Class Affine:def __init__(self,w,b):self.w = wself.b = bself.x = Noneself.dw = Noneself.db = Nonedef forward(self,x):self.x = xout np.dot(x,self.w) + breturn outdef backward(self,dout):dx = np.dot(dout,self,w.T)self.dw = np.dot(self.x.T,dout)self.db = np.sum(dout,axis=0)return dx

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