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wzjs 2025/8/22 19:12:14

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第三章: 神经网络原理详解与Pytorch入门

第一部分：神经网络算法理论详解与实践

第三节：神经网络中的前向传播、反向传播的原理与实现

内容：详解如何梯度下降法更新整个网络权重

学习目标：

掌握神经网络中前向传播与反向传播的数学原理
理解梯度下降如何更新权重
明确各层之间的导数传播过程，奠定自动微分和框架实现基础

一、前向传播（Forward Propagation）

前向传播是神经网络的“推理”过程，计算从输入到输出的映射：

以一个两层神经网络为例：

$z^{(1)} = W^{(1)}x + b^{(1)}$
$a^{(1)} = \sigma(z^{(1)})$
$z^{(2)} = W^{(2)}a^{(1)} + b^{(2)}$
$\hat{y} = f(z^{(2)})$

x：输入特征
$W^{(i)}$ ：权重矩阵
σ：激活函数（ReLU、Sigmoid等）
$\hat{y}$ ：输出预测值

二、损失函数（Loss Function）

【深度学习】关键技术-损失函数（Loss Function）_slideloss[16]损失函数是由googleai在2022年提出的一种用于深度学习目标检测中的-CSDN博客

神经网络使用损失函数衡量预测值与真实值之间的差异。常见损失：

任务类型	损失函数	公式
回归	均方误差 MSE	$\frac{1}{n} \sum (\hat{y}_i - y_i)^2$
分类	交叉熵 CrossEntropy	$-\sum y_i \log(\hat{y}_i)$

三、反向传播原理（Backpropagation）

【漫话机器学习系列】008.反向传播算法（Backpropagation Algorithm）-CSDN博客

1. 链式法则（Chain Rule）

【漫话机器学习系列】022.微积分中的链式求导法则（chain rule of Calculus）-CSDN博客

反向传播依赖链式法则来逐层计算梯度：

$\frac{\partial L}{\partial W^{(1)}} = \frac{\partial L}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial z^{(2)}} \cdot \frac{\partial z^{(2)}}{\partial a^{(1)}} \cdot \frac{\partial a^{(1)}}{\partial z^{(1)}} \cdot \frac{\partial z^{(1)}}{\partial W^{(1)}}$

整个过程：

从损失函数 L 开始
一步步传回去，计算各层的梯度
将误差分配到每一层的权重和偏置

2. 每层误差 δ 的表达

定义 $\delta^{(l)} = \frac{\partial L}{\partial z^{(l)}}$ ，即该层输出的“误差信号”

$\delta^{(l)} = ((W^{(l+1)})^T \delta^{(l+1)}) \circ \sigma'(z^{(l)})$

其中：

∘ 表示按元素相乘（Hadamard积）
σ′(z) 是激活函数的导数

四、梯度下降更新参数

【学习笔记】深入浅出梯度下降算法_gradient descent-CSDN博客

【漫话机器学习系列】063.梯度下降（Gradient Descent）_机器学习梯队下降-CSDN博客

1. 更新公式（以学习率 η）

$W^{(l)} := W^{(l)} - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial W^{(l)}}$
$b^{(l)} := b^{(l)} - \eta \cdot \frac{\partial L}{\partial b^{(l)}}$

2. 训练迭代流程

初始化参数
前向传播计算 $\hat{y}$
计算损失函数
反向传播计算梯度
更新参数
重复多个 epoch，直到收敛

五、PyTorch 实现前后向传播简例

【人工智能】Python常用库-PyTorch常用方法教程-CSDN博客

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim# 模拟数据
x = torch.randn(10, 5)
y = torch.randint(0, 2, (10,))# 简单神经网络
model = nn.Sequential(nn.Linear(5, 16),nn.ReLU(),nn.Linear(16, 2)
)loss_fn = nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)# 一次前后传播
y_pred = model(x)
loss = loss_fn(y_pred, y)
loss.backward()  # 自动反向传播
optimizer.step() # 更新参数
optimizer.zero_grad() # 梯度清零

小结表格

流程阶段	主要操作
前向传播	将输入逐层计算，输出预测值 y^\hat{y}
计算损失	使用 Loss 函数衡量 y^\hat{y} 与真实值的误差
反向传播	应用链式法则从输出到输入逐层计算梯度
梯度更新	使用梯度下降更新权重，控制学习速率

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