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wzjs 2025/8/22 11:00:00

网站建设十年杜绝模板,网络营销企业有哪些公司,网站检测报告那里做,在线做电商banner的网站介绍在繁忙的交通中追踪一辆行驶的摩托车并不容易。车辆的移动难以预测，我的眼睛无法捕捉到每一个细微的变化。我必须猜测它要去哪里，然后再次确认，并不断调整我的猜测。这才是真正的挑战：在信息嘈杂且不确定的情况下做出预测。 …

介绍

在繁忙的交通中追踪一辆行驶的摩托车并不容易。车辆的移动难以预测，我的眼睛无法捕捉到每一个细微的变化。我必须猜测它要去哪里，然后再次确认，并不断调整我的猜测。这才是真正的挑战：在信息嘈杂且不确定的情况下做出预测。

在实际系统中，情况也是如此。传感器提供的数据并不完美，环境是动态的，物体的运动也并非总是按照预期进行。准确预测并非易事。

这就是我们使用卡尔曼滤波器的原因。

它帮助我预测系统的下一个状态（如位置或速度），测量它，用新数据纠正预测，并重复该过程 - 一步一步变得更加准确。

例如，在多目标追踪中，我首先预测某个目标（例如边界框或骨架）在下一帧中的位置。然后，我会用最新的测量值更新该预测，以确保追踪的可靠性。

在这篇博客中，我将向您展示卡尔曼滤波器解决的问题、它们如何直观地工作以及它们的应用场景——所有这些都不会让您陷入繁重的数学知识中。

核心概念

在深入探讨卡尔曼滤波器本身之前，我们需要了解一些重要的概念。这些概念构成了滤波器实际工作的基础。

卡尔曼滤波器的核心是一个循环：预测 → 测量 → 校正 → 重复。以下是每个部分的分解：

状态：这代表您试图估计的内容 - 例如，物体的位置、速度或任何随时间演变的隐藏变量。
预测：使用系统通常行为的模型（如恒定速度），您可以估计下一个状态。
校正：一旦有新的测量结果，你就需要调整预测以反映新数据。目标是减少预期值与观测值之间的误差。
协方差 （可选，但务必牢记）：这追踪估计中的不确定性。你可以将其视为衡量滤波器置信度的指标——协方差低表示置信度高，反之亦然。

此外，卡尔曼滤波器依赖于两个关键假设：

线性：系统动力学和测量模型被假定为线性的。这意味着我们用涉及加法和乘法的简单方程来描述变化——没有曲线或跳跃之类的非线性行为。
高斯（正态）噪声：所有不确定性——无论是来自过程模型还是传感器测量——都被假定遵循正态分布。这一假设允许滤波器仅使用均值和方差来概括不确定性，从而使计算高效且易于处理。

这些假设使得卡尔曼滤波器优雅且计算高效。然而，在打破这些假设的现实世界中，人们会使用扩展卡尔曼滤波器 (EKF) 或无迹卡尔曼滤波器 (UKF) 等扩展算法来代替。

卡尔曼滤波器

该图显示了使卡尔曼滤波器工作的内部循环。

它首先对系统的状态进行一些猜测，并猜测该猜测的不确定性。

随着新测量值的到来（这些测量值是有噪声的），过滤器会反复执行两个步骤：首先，它根据过去的数据和系统行为预测下一个状态；然后，它使用新的测量值更新该预测。

此修正步骤可改善估计并减少不确定性。

经过改进的估算将成为输出，同时也是下一个循环的输入。结果是一个循环，卡尔曼滤波器不断学习，并实时改进其猜测。

预测步骤

预测步骤就像说：“如果一切按预期进行，我认为我们会处于这个位置。”

在卡尔曼滤波器循环的这一部分，我们采用当前已知的信息（当前状态估计值（以蓝色显示））并使用动态模型来预测系统在下一个时间步骤中可能处于的位置。

这个当前估计值既包括对系统状态的最佳猜测，也包括我们对该猜测的不确定性程度的衡量。使用该模型（例如，假设物体以恒定速度运动），滤波器会向前投影以获得预测的下一个状态。

但由于现实世界充满不确定性和噪声，我们也会将预测的不确定性带入未来，由于我们在尚未看到任何新事物的情况下进行估计，因此这种不确定性往往会略有增加。

修正步骤

更新步骤是过滤器的说法：“这是我看到实际发生的情况后做出的最佳猜测。”

在预测系统的下一个状态后，卡尔曼滤波器并不会就此止步——它会倾听现实世界的声音。这被称为更新步骤，滤波器会根据最新的测量结果调整其预测。

橙色曲线表示先前的估计值（上一步的预测值）及其估计的不确定性。绿色曲线是来自传感器的新测量值，它也带有自身的测量噪声或不确定性。这是传感器告诉我们的信息——但它并不总是完全可靠的。

滤波器会比较预测值和测量值，然后根据各自的可信度进行融合。如果传感器数据噪声很大，滤波器会更依赖于自身的预测值。如果预测值较弱但测量值似乎准确，滤波器会赋予新的观测值更大的权重。

结果是对系统当前状态的精确估计（由更清晰的蓝色曲线显示）和更新的置信度衡量标准。

工作流程

卡尔曼滤波器并非一次性的猜测，而是一个动态的估计器。每一步，它都会平衡它所相信的和它所看到的，不断自我修正以保持正轨。

该图将我们所涵盖的所有内容（测量、预测和校正）整合到一个连续的循环中。

让我们通过 4 个简单的步骤来完成它：

步骤 0：初始化

我们从对系统状态的初步猜测开始，并确定我们对此状态的不确定性。这个猜测不必完美，但它为过滤器的其余操作奠定了基础。

步骤 1：测量

在每个时间步长，系统都会收到一个新的测量值及其不确定性。这可能来自传感器——例如 GPS 读数或摄像头检测——而且通常带有噪声。

第 2 步：更新（更正）

这里是过滤器改进其估计的地方：

它计算卡尔曼增益，以决定对测量结果与预测结果的信任程度。
然后，使用新的测量值更新当前状态估计。
最后，它还更新了不确定性——理想情况下是使其变得更小。

步骤3：预测

使用当前估计值，过滤器使用系统的动态模型（如物理方程）预测下一个状态。

它还预测了不确定性，解释了未来增加的不确定性。

然后循环继续进行下一次测量，一遍又一遍地循环预测和更新——使过滤器随着时间的推移变得更智能、更准确。

代码实现

为了更好地理解卡尔曼滤波器的工作原理，让我们用 Python 实现一个基本的一维实现。此版本跟踪具有单一状态的系统——例如估计物体随时间的位置。

我们首先使用几个核心矩阵设置卡尔曼滤波器：

F：转换矩阵，用于模拟状态随时间的变化。例如，在恒速模型中，它可能包含位置和速度。
H：观察矩阵，将内部状态映射到我们实际观察到的内容（如传感器读数）。
B：控制矩阵，用于模拟任何外部输入（例如加速度）。在许多简单情况下是可选的。
Q：过程噪声协方差，它解释了模型本身的不确定性——例如物体意外改变速度的情况。
R：测量噪声协方差，用于捕捉传感器的噪声程度。
P：估计误差协方差，表示我们对当前状态估计的信心程度。
x：状态向量，也就是我们试图估计的（例如，物体的当前位置）。

预测步骤

<span style="color:rgba(0, 0, 0, 0.8)"><span style="background-color:#ffffff"><span style="background-color:#f9f9f9"><span style="color:#242424">自我.x = 自我.F @ 自我.x + 自我.B @ u
自我.P = 自我.F @ 自我.P @ 自我.FT + 自我.Q</span></span></span></span>

这是它的作用：

第一行通过应用运动模型（）和可选的控制输入（）来更新状态估计。它的基本意思是：“根据物体现在的位置，我认为它接下来会在这里。”FB @ u
第二行更新不确定性（P）。它会向前传播，并且我们会添加Q不确定性以解释转换过程中任何增加的过程噪声。

在此阶段，过滤器已做出最佳猜测，但尚未看到任何新数据。

更新步骤

<span style="color:rgba(0, 0, 0, 0.8)"><span style="background-color:#ffffff"><span style="background-color:#f9f9f9"><span style="color:#242424">y = z - self.H @ self.x 
S = self.R + self.H @ self.P @ self.HT 
K = self.P @ self.HT @ np.linalg.inv(S) 
self.x = self.x + K @ y 
I = np.eye(self.state_dim) 
self.P = (I - K @ self.H) @ self.P @ (I - K @ self.H).T + K @ self.R @ KT</span></span></span></span>

让我们来分析一下：

y是测量残差——我们观察到的结果与预期结果之间的差异。这告诉我们预测结果的偏差有多大。
S是残差协方差，表示预测和测量中的不确定性。
K是卡尔曼增益，它决定了我们应该在多大程度上相信测量值与预测值。

然后我们应用修正：

x使用卡尔曼增益和残差来更新状态——使估计值更接近测量值。
协方差P也进行了更新，以反映纳入新观察后信心的提高。

这是整个实现

<span style="color:rgba(0, 0, 0, 0.8)"><span style="background-color:#ffffff"><span style="background-color:#f9f9f9"><span style="color:#242424"><span style="color:#aa0d91">class </span> KalmanFilter : <span style="color:#aa0d91">def </span> __init__ ( 
<span style="color:#5c2699">        self, transition_matrix: NDArray[np.float64], observation_matrix: NDArray[np.float64], control_matrix: NDArray[np.float64] | <span style="color:#aa0d91">None</span> = <span style="color:#aa0d91">None</span> , process_noise_cov: NDArray[np.float64] | <span style="color:#aa0d91">None</span> = <span style="color:#aa0d91">None</span> , measurements_noise_cov: NDArray[np.float64] | <span style="color:#aa0d91">None</span> = <span style="color:#aa0d91">None</span> , assess_cov: NDArray[np.float64] | <span style="color:#aa0d91">None</span> = <span style="color:#aa0d91">None</span> , initial_state: NDArray[np.float64] | <span style="color:#aa0d91">None</span> = <span style="color:#aa0d91">None</span> ,</span> ): <span style="color:#c41a16">"""初始化卡尔曼滤波器。""" </span><span style="color:#aa0d91">if</span> transition_matrix <span style="color:#aa0d91">is </span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">or</span> observation_matrix <span style="color:#aa0d91">is </span> <span style="color:#aa0d91">None</span> : <span style="color:#aa0d91">raise</span> ValueError( <span style="color:#c41a16">"系统动力学必须用转换和观察矩阵来定义。"</span> ) self.state_dim = transition_matrix.shape[ <span style="color:#1c00cf">1</span> ] self.measure_dim = observation_matrix.shape[ <span style="color:#1c00cf">0</span> ] self.F = transition_matrix self.H = observation_matrix self.B = np.zeros((self.state_dim, <span style="color:#1c00cf">1</span> ))<span style="color:#aa0d91">如果</span>control_matrix<span style="color:#aa0d91">为</span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">else</span> control_matrix self.Q = np.eye(self.state_dim)<span style="color:#aa0d91">如果</span>process_noise_cov<span style="color:#aa0d91">为</span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">else</span> process_noise_cov self.R = np.eye(self.measure_dim)<span style="color:#aa0d91">如果</span>measurements_noise_cov<span style="color:#aa0d91">为</span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">else</span> measurements_noise_cov self.P = np.eye(self.state_dim)<span style="color:#aa0d91">如果</span>assesse_cov<span style="color:#aa0d91">为</span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">else</span> assesse_cov self.x = np.zeros((self.state_dim, <span style="color:#1c00cf">1</span> ))<span style="color:#aa0d91">如果</span>initial_state<span style="color:#aa0d91">为</span> <span style="color:#aa0d91">None </span> <span style="color:#aa0d91">else</span> initial_state <span style="color:#aa0d91">def </span> predict ( <span style="color:#5c2699">self, control_input: NDArray[np.float64] | <span style="color:#5c2699">float</span> = <span style="color:#1c00cf">0</span></span> ) -> NDArray[np.float64]: <span style="color:#c41a16">"""预测下一个状态并更新估计协方差。"""</span>u = np.array([[control_input]]) <span style="color:#aa0d91">if</span> np.isscalar(control_input) <span style="color:#aa0d91">else</span> control_inputself.x = self.F @ self.x + self.B @ u self.P = self.F @ self.P @ self.FT + self.Q <span style="color:#aa0d91">return</span> self.x <span style="color:#aa0d91">def </span> update ( <span style="color:#5c2699">self, measurements: <span style="color:#5c2699">float</span> | NDArray[np.float64]</span> ) -> <span style="color:#aa0d91">None</span> : <span style="color:#c41a16">"""根据新的测量结果更新卡尔曼滤波器。"""</span>z = np.array([[measurement]]) <span style="color:#aa0d91">if</span> np.isscalar(measurement) <span style="color:#aa0d91">else</span> measurements.reshape(- <span style="color:#1c00cf">1</span> , <span style="color:#1c00cf">1</span> ) y = z - self.H @ self.x   <span style="color:#007400"># 测量残差</span>S = self.R + self.H @ self.P @ self.HT   <span style="color:#007400"># 残差协方差</span>K = self.P @ self.HT @ np.linalg.inv(S)   <span style="color:#007400"># 卡尔曼增益</span>self.x = self.x + K @ y I = np.eye(self.state_dim) self.P = (I - K @ self.H) @ self.P @ (I - K @self.H).T + K@self.R@KT</span></span></span></span>

演示

这是我用于演示的代码：

<span style="color:rgba(0, 0, 0, 0.8)"><span style="background-color:#ffffff"><span style="background-color:#f9f9f9"><span style="color:#242424">dt = <span style="color:#1c00cf">1.0</span> / <span style="color:#1c00cf">60</span>F = np.array([[ <span style="color:#1c00cf">1</span> , dt, <span style="color:#1c00cf">0</span> ], [ <span style="color:#1c00cf">0</span> , <span style="color:#1c00cf">1</span> , dt], [ <span style="color:#1c00cf">0</span> , <span style="color:#1c00cf">0</span> , <span style="color:#1c00cf">1</span> ]]) 
H = np.array([[ <span style="color:#1c00cf">1</span> , <span style="color:#1c00cf">0</span> , <span style="color:#1c00cf">0</span> ]]) 
Q = np.array([[ <span style="color:#1c00cf">0.05</span> , <span style="color:#1c00cf">0.05</span> , <span style="color:#1c00cf">0.0</span> ], [ <span style="color:#1c00cf">0.05</span> , <span style="color:#1c00cf">0.05</span> , <span style="color:#1c00cf">0.0</span> ], [ <span style="color:#1c00cf">0.0</span> , <span style="color:#1c00cf">0.0</span> , <span style="color:#1c00cf">0.0</span> ]]) 
R = np.array([[ <span style="color:#1c00cf">0.5</span> ]]) x_vals = np.linspace(- <span style="color:#1c00cf">10</span> , <span style="color:#1c00cf">10</span> , <span style="color:#1c00cf">100</span> ) 
true_values = -(x_vals** <span style="color:#1c00cf">2</span> + <span style="color:#1c00cf">2</span> * x_vals - <span style="color:#1c00cf">2</span> ) 
noisy_measurements = true_values + np.random.normal( <span style="color:#1c00cf">0</span> , <span style="color:#1c00cf">2</span> , <span style="color:#1c00cf">100</span> ) kf = KalmanFilter(transition_matrix=F, observation_matrix=H, process_noise_cov=Q, measurements_noise_cov=R) 
predictions = [] <span style="color:#aa0d91">for</span> z <span style="color:#aa0d91">in</span> noisy_measurements:预测 = H @ kf.predict(control_input= <span style="color:#1c00cf">5</span> )预测.append(prediction.item()) kf.update(z) plt.plot(true_values, label= <span style="color:#c41a16">'真值'</span> ) 
plt.plot(noisy_measurements, label= <span style="color:#c41a16">'测量值'</span> ) 
plt.plot(predictions, label= <span style="color:#c41a16">'卡尔曼滤波器预测'</span> ) 
plt.legend() 
plt.title( <span style="color:#c41a16">"卡尔曼滤波器演示"</span> ) 
plt.show()  </span></span></span></span>

结果：