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一、为什么要降维？

1. 直观比喻

假设你要描述一个人：

• 高维描述：身高、体重、发色、鞋码、星座、血型、喜欢的电影...（100个特征）

• 降维后："运动型"（身高+体重）、"文艺型"（喜欢的电影+书籍）（2个特征）

2. 实际意义

• 解决维度灾难：特征太多会导致数据稀疏，模型难以学习

• 提升效率：减少计算时间，降低存储需求

• 可视化需求：人类只能理解2D/3D图形

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二、主流降维方法

方法1：PCA（主成分分析）

核心思想：找到数据中方差最大的方向，将数据投影到这些方向上。

生活化比喻

把三维的西瓜🍉拍成二维照片，选择最能体现西瓜特征的拍摄角度。

计算步骤

1. 中心化数据（减去均值）

2. 计算协方差矩阵

3. 计算特征值和特征向量

4. 选择前k大特征值对应的特征向量

Python实现

from sklearn.decomposition import PCA
from sklearn.datasets import load_iris# 加载数据
iris = load_iris()
X = iris.data# 降维到2维
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)print("原始形状：", X.shape)
print("降维后形状：", X_pca.shape)
print("各主成分解释方差比例：", pca.explained_variance_ratio_)

输出示例

原始形状： (150, 4)
降维后形状： (150, 2)
各主成分解释方差比例： [0.924 0.053]  # 第一主成分保留了92.4%的信息

优缺点

• ✅ 优点：线性方法简单有效，可解释性强

• ❌ 缺点：只能捕捉线性关系

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方法2：t-SNE（t分布随机邻域嵌入）

核心思想：保持高维空间中数据点的局部相似性。

生活化比喻

把全世界城市的地理位置画到一张纸上，保证相邻城市在纸上仍然相邻。

Python实现

from sklearn.manifold import TSNEtsne = TSNE(n_components=2, random_state=42)
X_tsne = tsne.fit_transform(X)

适用场景

• 高维数据可视化（常降到2D/3D）

• 探索数据聚类结构

注意事项

• 计算成本高

• 超参数敏感（困惑度perplexity）

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方法3：LDA（线性判别分析）

核心思想：找到能最好区分不同类别的投影方向。

与PCA对比

	PCA	LDA
目标	最大化总体方差	最大化类间方差/类内方差
有无监督	无监督	有监督
结果	主成分与类别无关	投影方向与类别相关

Python实现

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysislda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_lda = lda.fit_transform(X, iris.target)

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三、如何选择降维方法？

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