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深入理解 KMP 算法：高效字符串匹配的利器

一、KMP 算法的由来及其解决的问题

  在计算机科学领域，字符串处理是一项极为常见且基础的任务。其中，字符串匹配问题更是频繁出现，例如在文本编辑器中查找特定单词、在生物信息学中搜索 DNA 序列模式等。早期，人们普遍采用朴素的字符串匹配算法，该算法简单直观，但在面对长字符串时效率低下。正是在这样的背景下，1977 年，Donald E. Knuth、Vaughan Pratt 和 James H. Morris 共同提出了 KMP 算法，旨在更高效地解决字符串匹配问题，从此开启了字符串匹配算法优化的新篇章。
  KMP 算法主要解决的是在一个主字符串(text)中查找一个模式字符串(pattern)出现的位置。简单来说，给定一个长度为 n 的主字符串 text 和一个长度为 m 的模式字符串 pattern（其中 m <= n），需要找出 pattern 在 text 中首次出现的起始索引。朴素字符串匹配算法的时间复杂度为 O (n * m)，在最坏情况下，对于每个主字符串中的字符位置，都需要对模式字符串进行完整匹配，导致大量不必要的重复比较。而 KMP 算法通过巧妙利用已经匹配的部分信息，避免了重复匹配，将时间复杂度降低到 O (n + m)，大大提高了字符串匹配的效率。下面我们来介绍 KMP 算法的流程。

二、算法流程

2.1 前缀表

  前缀表记录了模式字符串中每个前缀子串的最长相等前缀和后缀的长度。对于模式字符串 pattern，设其长度为 m，前缀表是一个长度为 m 的数组，记为 next。next[i] 表示 pattern 的前 i + 1 个字符组成的子串中，最长相等前缀和后缀的长度（不包括整个子串本身）。例如，对于模式字符串 “aabaaf”，其前缀表为 [0, 1, 0, 1, 2, 0]。当 i = 0 时，子串为 “a”，没有相等的前缀和后缀，所以 next[0] = 0；当 i = 1 时，子串为 “aa”，有相等的前缀和后缀"a"，next[1] = 0；当 i = 2 时，子串为 “aab”，没有相等的前后缀，所以 next[2] = 0；同理，当 i = 3 时，子串为"aaba"，所以 next[3] = 1；当 i = 4时，next[4] = 2；当 i = 5 时，next[5] = 0。

• 构建过程
  • 初始化：设模式字符串 pattern 的长度为 m，创建一个长度为 m 的数组 next，初始时 next[0] = 0，因为单个字符没有前后缀。
  • 遍历计算：设两个指针，i 指向后缀末尾(从1开始)，j 指向前缀末尾(初始为0)。在遍历过程中，比较 pattern[i] 和 pattern[j]。
    • 如果 pattern[i] == pattern[j]，说明找到了一个更长的相等前缀和后缀，j 增加 1，然后将 j 赋值给 next[i]，即 next[i] = j，同时 i 也增加 1，继续下一个位置的计算。
    • 如果 pattern[i] != pattern[j]，且 j > 0，说明当前位置无法形成更长的相等前缀和后缀，此时需要回溯 j，令 j = next[j - 1]，继续比较 pattern[i] 和 pattern[j]。这是因为之前已经知道了长度为 j - 1 的前缀的最长相等前缀和后缀长度，通过回溯可以尝试找到一个更短的前缀，使得 pattern[i] 能够与该前缀的下一个字符匹配。
    • 如果 pattern [i] != pattern [j] 且 j == 0，说明从开头到当前位置 i 都没有相等的前缀和后缀，此时 next[i] = 0，i 增加 1，继续下一个位置的计算。

2.2 字符串匹配过程

• 匹配开始：设主字符串 text 的长度为 n，模式字符串 pattern 的长度为 m。初始化两个指针，i 用于遍历主字符串 text（从 0 开始），j 用于遍历模式字符串 pattern（从 0 开始）。
• 字符比较：在匹配过程中，不断比较 text [i] 和 pattern [j]。
  • 如果 text[i] == pattern[j]，说明当前字符匹配成功，i 和 j 都增加 1，继续比较下一个字符。
  • 如果 text[i] != pattern[j]，此时不能简单地将 i 回溯到上次匹配的起始位置重新开始比较，而是要利用前缀表进行优化。令 j = next[j - 1]，这意味着将模式字符串向右移动，使得已经匹配的部分尽可能多地利用之前的匹配信息，减少不必要的重复比较。
• 匹配成功或失败判断：当 j 等于模式字符串的长度 m 时，说明模式字符串在主字符串中找到了匹配，返回当前 i - j 的值，即为模式字符串在主字符串中首次出现的起始索引。如果 i 遍历完主字符串 text，j 仍未达到 m，说明模式字符串在主字符串中不存在匹配，返回 -1。

三、举个栗子

假设主字符串 text = “abababca”，模式字符串 pattern = “ababca”。

3.1 构建前缀表

1. 初始化 next 数组，长度为 6，next[0] = 0，并令 j = 0。
2. 当 i = 1 时，pattern[1] = ‘b’，pattern[0] = ‘a’，不相等，next[1] = 0。
3. 当 i = 2 时，pattern[2] = ‘a’，pattern[0] = ‘a’，相等，j 从 0 变为 1，next[2] = 1。
4. 当 i = 3 时，pattern[3] = ‘b’，pattern[1] = ‘b’，相等，j 从 1 变为 2，next[3] = 2。
5. 当 i = 4 时，pattern[4] = ‘c’，pattern[2] = ‘a’，不相等，j 回溯，j = next[2 - 1] = next[1] = 0。因为pattern[4]与pattern[0]不相等，所以next[4] = 0。
6. 当 i = 5 时，pattern[5] = ‘a’，pattern[0] = ‘a’，相等，j 从 0 变为 1，next[5] = 1。所以前缀表next = [0, 0, 1, 2, 0, 1]。

3.2 字符串匹配过程

1. 初始化 i = 0，j = 0。
2. 比较 text[0] 和 pattern[0]，都为 ‘a’，匹配成功，i = 1，j = 1。
3. 比较 text[1] 和 pattern[1]，都为 ‘b’，匹配成功，i = 2，j = 2。
4. 比较 text[2] 和 pattern[2]，都为 ‘a’，匹配成功，i = 3，j = 3。
5. 比较 text[3] 和 pattern[3]，都为 ‘b’，匹配成功，i = 4，j = 4。
6. 比较 text[4] 和 pattern[4]，text[4]为’a’，pattern[4]为’c’，不匹配，j 回溯，j = next[4 - 1] = next[3] = 2。
7. 继续比较 text[4] 和 pattern[2]，text[4]为’a’，pattern[2]为’a’，匹配成功，i = 5，j = 3。
8. 比较 text[5] 和 pattern[3]，text[5]为’b’，pattern[3]为’b’，匹配成功，i = 6，j = 4。
9. 比较 text[6] 和 pattern[4]，text[6]为’c’，pattern[4]为’c’，匹配成功，i = 7，j = 5。
10. 比较 text[7] 和 pattern[5]，text[7]为’a’，pattern[5]为’a’，匹配成功，j 达到模式字符串长度 m = 6，此时返回 i - j + 1 = 7 - 6 + 1 = 2，说明模式字符串在主字符串中首次出现的起始索引为 2。

四、代码实现

class Solution {public int match(String text, String pattern) {if (pattern.length() == 0) return 0;int[] next = new int[pattern.length()];getNext(next, pattern);int j = 0;for (int i = 0; i < text.length(); i++) {while (j > 0 && pattern.charAt(j) != text.charAt(i)) j = next[j - 1];if (pattern.charAt(j) == text.charAt(i)) j++;if (j == pattern.length()) return i - pattern.length() + 1;}return -1;}private void getNext(int[] next, String s) {int j = 0;next[0] = 0;for (int i = 1; i < s.length(); i++) {while (j > 0 && s.charAt(j) != s.charAt(i)) j = next[j - 1];if (s.charAt(j) == s.charAt(i)) j++;next[i] = j; }}
}