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题目

368. 最大整除子集

给你一个由 无重复 正整数组成的集合 nums ，请你找出并返回其中最大的整除子集 answer ，子集中每一元素对 (answer[i], answer[j]) 都应当满足：

• answer[i] % answer[j] == 0 ，或

• answer[j] % answer[i] == 0

如果存在多个有效解子集，返回其中任何一个均可。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3]
输出：[1,2]
解释：[1,3] 也会被视为正确答案。

示例 2：

输入：nums = [1,2,4,8]
输出：[1,2,4,8]

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000

• 1 <= nums[i] <= 2 * 109

• nums 中的所有整数 互不相同

思路

        动态规划的题目，关键在与定义状态和状态转移方程，这2个步骤是要一起考虑的。本题需要绕一个弯，我们可以分成2个子问题：

1. 求出最大集合的元素数量

2. 求出最大集合的每个元素（有多个符合条件的集合的话，只要求解出其中一个）

求出最大集合的元素数量

        我们先对原数组做从小到大排序，定义一个一维数组dp[]，dp[n]代表以下标为n的数字作为集合最大元素时，集合的最大size。根据整除子集的定义，我们在求dp[n+1]的时候，就可以遍历0 ~ n，如果num[n+1]可以整除num[j]，那么dp[n+1]的1种解是dp[j]+1，所以dp[n+1] = max(dp[j]+1)，条件是num[n+1]%num[j]==0。那如果0~n任何一个数都不能被整除，那么这个子集只能包含num[n+1]自己，即dp[n+1] = 1。最后，我们遍历dp[0] ~ dp[len-1]，求可以得到最大集合的元素数量max。

求出最大集合的每个元素

        这一步是本题比较容易错误的一个点，上述求解最大集合的元素数量的过程，我们可以同时记录下最大集合的结束元素值maxValue和它的下标maxIndex。然后从后往前遍历去找它前一个元素，找到后把找到的元素作为maxValue，下标作为maxIndex，继续递归，直到找满max个元素即可。这里注意，找到一个可以被maxValue整数的值之后，不一定就是要找的循环，必须再判断1层dp[i] == maxSize - 1，否则可以出现错误，我们举个例子： 原数组为：[3,6,8,24] dp值为：[1,2,1,3] 此时，maxValue = 24，maxIndex = 3，所以从下标为2开始从后往前找，找到了8是可以被24整除的，但是显然8不是我们结果集合应该有的元素。如果加上判断1层dp[i] == maxSize - 1，就可以避免这个错误。

图解

代码

/*** 分成2步* 1、求出最大集合的元素数量* 2、求出最大集合的每个元素*/
public List<Integer> largestDivisibleSubset(int[] nums) {List<Integer> ans = new ArrayList<>();int len = nums.length;// 下标i的数作为子集中最大数，dp[i]表示子集的最大大小// 对于j in [0, i-1]，如果nums[i] % nums[j] == 0, dp[i] = max(dp[j]+1)// 如果都无法整除 dp[i] = 1int[] dp = new int[len];Arrays.sort(nums);dp[0] = 1;int max = dp[0];int maxIndex = 0;int maxVal = nums[0];for (int i = 1; i < len; i++) {int temp = 1;for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i]%nums[j] == 0 && dp[j] + 1 > temp) {temp = dp[j] + 1;}}dp[i] = temp;if (dp[i] > max) {max = dp[i];maxIndex = i;maxVal = nums[i];}}// 回查原数组，找到最大的集合ans.add(nums[maxIndex]);int maxSize = max;while (ans.size() < max) {for (int i = maxIndex-1; i >= 0; i--) {if (maxVal%nums[i] == 0 && dp[i] == maxSize - 1) {ans.add(nums[i]);maxVal = nums[i];maxIndex = i;maxSize--;break;}}}return ans;
}

耗时