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ch09 - 拓扑排序与基环树

SAT 问题

• 知识点：基环森林
• 思路：
  • 题意解释：题目会输入 n 对二元关系，每对二元关系要保证对应位置填数不同（只能填 0 或 1）。如样例 1 输入 2,3,4,1，对应四对二元关系，分别是 (1, 2)，(2, 3)，(3, 4)，(4, 1)，其中 (1,2) 表示 1,2 位置所填的数不能相同（比如 1 填 T，那么 2 只能填 F，或者 1 填 F，那 2 只能填 T），其他二元关系也是如此。
  • 对于每一对二元关系，我们可以理解为一条无向边，比如二元关系 (1, 2)，可以认为节点 1 和节点 2 之间连了一条边，以此类推，我们能得到下图所示的基环树（左 1）。
    
  • 建图之后，问题可以变成在图上染色的过程，当某个点确定之后，相邻节点的颜色也确定了，依次类推，整张图的染色也确定了，由于初始节点有两种染色方案，因此总的方案数为 2。
    • 情形 1：图上环的长度为奇数（有奇数个节点），那么不存在可行的染色方案。
    • 情形 2：图上的一个连通块中不止有环，还有连接其他节点，这些节点不会影响染色过程，可以忽略。
    • 综上所述，如果图中不存在奇数长度的环，且忽略所有不在环上的节点后，图上只存在若干长度为偶数的环，记环的个数为 $k$，并且每个长度为偶数的环的染色方案为 2，根据乘法原理，总的方案数为 $2^k$（可以通过样例 2 建图理解）。
  • 代码思路：先根据拓扑排序的思路，将所有不在环上的节点排除，再统计每个环上节点的个数，并统计环的个数 $k$。如果存在奇数长度的环，答案为 0，否则答案为 $2^k$。

收敛的数组

• 知识点：基环树、并查集
• 思路：
  • 对于每一轮赋值操作，$i=a_i$，可以认为数 $i$ 变成了 $a_i$，因此可以看成是节点 $i$ 到节点 $a_i$ 有一条出边，表示从节点 $i$ 能一步到达节点 $a_i$。更具体地，每个数 $i$ 都看成一个节点，编号从 $1\sim n$，对于输入的每个 $a_i$，可以认为从节点 $i$ 到节点 $a_i$ 有一条出边，形成一个基环内向森林（可能有多个基环内向树）。
  • 题目的问题在图上可以转换为，修改最少的边使得可以找到一个节点 x，所有节点（包括 x 本身）能经过 n - 1 条边到达 x。
  • 对于一棵基环内向树而言
    • 选择的节点 x 必须在环上，因为如果选择的点 x 在环外，那么环上的点无论如何都无法到达 x，不符合要求。
    • 环上的节点只能有一个（自环），因为如果环上的节点大于等于 2，随意选择任何一个节点作为 x，那么每个节点到达 x 的距离都是不一样的，因此不存在任何距离 k（题目中是 n - 1），使得每个节点到 x 的距离都是 k。
    • 综上所述，对于每一棵基环内向树而言，我们需要找到一个终点，让它变成自环，这样才能使得每个点到终点的距离为 n - 1。
  • 统计需要修改的边数
    • 记该基环内向森林中有 cnt 棵基环内向树。
    • 如果一棵基环内向树中本身就有一个自环，那么可以把它作为终点 x，所有其他树需要连一条边到这个终点上（或者该树的其他点上，效果都一样），需要的边数取决于有多少棵其他的基环内向树，即 cnt - 1。
      • 可以通过并查集统计基环内向树的数量（同一棵树上的节点可以认为在同一个集合中，最后统计有多少个集合）
    • 如果不存在任何一棵基环内向树中有自环，则需要额外修改一条边，将某个节点改成自环。总共需要修改 cnt 条边。

Piggy banks

• 知识点：基环树、并查集
• 思路：
  • 题意解释：有 n 个存钱罐和 n 把钥匙，要想获得第 i 个存钱罐中的钱，有两种方式，一种是将存钱罐打碎，另一种是通过它对应的第 i 把钥匙开启。
    • 每个存钱罐中除了有钱之外，可能还放有其他存钱罐的钥匙。问最少需要打碎多少存钱罐，将里面的所有钱全部拿出来。
  • 将每个罐子看成一个节点，如果编号为 x 的罐子中有着编号为 i 罐子的钥匙，那么可以认为，有一条从节点 x 到节点 i 的有向边，表示通过节点 x 能打开 i 号罐子，从而形成基环外向森林。例如，对于样例而言，如下图所示，其中圆形表示罐子，三角形表示罐子钥匙。
    
  • 对于一棵基环外向树而言，只需要打碎其中一个在环上的罐子，就能访问到所有其他罐子了。因此问题就变成计算有多少棵基环外向树的问题了（每一棵基环外向树都需要打碎一个罐子）
    • 同样地，可以通过并查集统计有多少棵基环外向树（每一个基环外向树是一个集合）