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wzjs 2025/7/21 17:30:05

做关于什么内容的网站,厦门人才网597人才网,南通做电力的公司网站,烟台房产网站建设设点 O O O 为 △ A B C \triangle ABC △ABC 的外心, Γ 1 \Gamma_1 Γ1 是过 A A A, B B B 两点并与 A C AC AC 相切的圆, Γ 2 \Gamma_2 Γ2 是过 A A A, C C C 两点并与 A B AB AB 相切的圆, 圆 Γ 1 \Gamma_1 Γ1 与 Γ 2 \Gamma_2 Γ2 交于 A A A, …

设点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心, $\Gamma_1$ 是过 $A$ , $B$ 两点并与 $A C$ 相切的圆, $\Gamma_2$ 是过 $A$ , $C$ 两点并与 $A B$ 相切的圆, 圆 $\Gamma_1$ 与 $\Gamma_2$ 交于 $A$ , $P$ 两点, $D$ , $E$ , $F$ 分别是边 $BC$ , $C A$ , $A B$ 上的点, 且 $D E // A B$ , $D F // A C$ . 求证: $O$ , $P$ , $E$ 三点共线的充分必要条件是 $\perp EF$ .

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(《高中数学联赛模拟试题精选》第16套)

证明: 充分性:

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设 $(A PB)$ 的圆心为 $O_1$ , $(A PC)$ 的圆心为 $O_2$ .

$OO_2 \bot AC$ , $O_1A \bot AC$ , 所以 $O_1A//OO_2$ . 同理, $O_2A//OO_1$ .

显然, 四边形 $O_1AO_2O$ 为平行四边形.

$\angle O_1OO_2=\angle O_1AO_2=\angle O_1PO_2$ , 所以 $O_1$ , $P$ , $O$ , $O_2$ 共圆.

$\angle PO_1O_2=\angle AO_1O_2=\angle PAC$ .

$OO_2 \bot AC$ , $O_1O_2 \bot AP$ , 所以 $\angle O_1O_2O=\angle PAC=\angle PO_1O_2$ .

四边形 $O_1O_2OP$ 为等腰梯形, $O_1O_2//OP$ .

$\bot O_1O_2$ , 所以 $\bot AP$ .

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下面证明: $\bot AP$ .

易求得: $\angle APB=\angle APC=\pi-A$ .

由相切可知 $\angle PAC=\angle ABP$ , $\angle PAB=\angle PCA$

由 $D E // A B$ , $D F // A C$ 可知 $A E / CE = BF / A F$ .

综上可知 $\triangle AFP \sim \triangle CEP$ , $\triangle EAP \sim \triangle FBP$ .

$\angle EPF=\angle APC=\pi-A$ , 所以 $A$ , $E$ , $P$ , $F$ 四点共圆, 进而 $\angle APE=\angle AFE=\frac{\pi}{2}$ , 即 $\bot AP$ .

综上, $P$ , $O$ , $E$ 三点共线.

充分性证毕.

必要性: 只需证明 $A E / CE = BF / A F$ .

证明 $\bot AP$ . (参考充分性的证明)

易求得: $\angle APB=\angle APC=\pi-A$ .

$\angle APE=\angle AFE=\frac{\pi}{2}$ , 所以 $A$ , $F$ , $P$ , $E$ 四点共圆.

$\angle EPF=\pi-A=\angle APC=\angle APB$ . 进而 $\angle FPA=\angle EPC$ , $\angle FPB=\angle EPA$ .

由相切可知 $\angle PAC=\angle ABP$ , $\angle PAB=\angle PCA$ , 综上可知 $\triangle AFP \sim \triangle CEP$ , $\triangle EAP \sim \triangle FBP$ , 进而 $A E / CE = BF / A F$ .