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1. 核心分解类概览
Eigen 提供多种矩阵分解方法，适用于不同矩阵类型（稠密/稀疏、正定/非正定等）：
| 分解类 | 适用矩阵类型 | 分解形式 | 典型应用场景 |
|---|---|---|---|
PartialPivLU | 方阵（可逆） | A=PLUA=PLU | 通用线性方程组求解 |
FullPivLU | 任意矩阵 | A=P−1LUQ−1A=P−1LUQ−1 | 高稳定性求解（计算成本高） |
HouseholderQR | 任意矩阵（列满秩） | A=QRA=QR | 最小二乘问题（快速但不稳定） |
ColPivHouseholderQR | 任意矩阵 | A=QRA=QR（列主元） | 稳定的最小二乘解 |
FullPivHouseholderQR | 任意矩阵 | A=QRA=QR（完全主元） | 高稳定性（计算成本最高） |
LLT | 正定矩阵 | A=LLTA=LLT | Cholesky 分解（快速） |
LDLT | 半正定/正定矩阵 | A=LDLTA=LDLT | 带对角调整的 Cholesky |
2. 通用方法与属性
所有分解类均继承自 Eigen::SolverBase，提供以下统一接口：
核心方法
| 方法 | 参数说明 | 返回值/功能 | 示例 |
|---|---|---|---|
compute(const MatrixType& A) | A: 待分解矩阵 | 无（更新分解状态） | lu.compute(A); |
solve(const MatrixType& b) | b: 右侧矩阵/向量 | 解 Ax=bAx=b | VectorXf x = lu.solve(b); |
matrixLU() | 无 | 返回 LU 分解后的矩阵 | MatrixXd LU = lu.matrixLU(); |
info() | 无 | 返回计算状态（Success/NumericalIssue） | if (lu.info() != Success) { /* error */ } |
属性
| 属性 | 说明 |
|---|---|
rows(), cols() | 返回分解矩阵的行数/列数 |
rank() | 返回矩阵的秩（仅 FullPiv* 类支持） |
3. 各分解类详解
(1) PartialPivLU（部分主元 LU 分解）
-
适用场景：通用方阵求解（推荐默认使用）。
-
特有方法：
cpp
PermutationMatrix P = lu.permutationP(); // 返回排列矩阵 P MatrixXd L = lu.matrixLU().triangularView<UnitLower>(); // 提取 L MatrixXd U = lu.matrixLU().triangularView<Upper>(); // 提取 U
(2) HouseholderQR 与 ColPivHouseholderQR
-
区别：后者通过列主元提高稳定性，但稍慢。
-
特有方法：
cpp
MatrixXd Q = qr.householderQ(); // 获取 Q 矩阵（需显式计算） VectorXd hCoeffs = qr.hCoeffs(); // 返回 Householder 系数 // 仅 ColPivHouseholderQR: PermutationMatrix P = qr.colsPermutation(); // 列排列矩阵
(3) LLT 与 LDLT（Cholesky 分解）
-
要求：矩阵必须正定（
LLT）或半正定（LDLT）。 -
特有方法：
cpp
MatrixXd L = llt.matrixL(); // 获取下三角矩阵 L（LLT） VectorXd D = ldlt.vectorD(); // 获取对角矩阵 D（LDLT）
4. 稀疏矩阵分解类
| 类名 | 适用场景 | 关键方法 |
|---|---|---|
SimplicialLLT | 稀疏正定矩阵 | analyzePattern(), factorize() |
SparseLU | 通用稀疏方阵 | solve() 支持多右手边 |
ConjugateGradient | 稀疏对称正定矩阵（迭代） | setTolerance(), compute() |
5. 代码示例
稠密矩阵求解
cpp
#include <Eigen/Dense>
using namespace Eigen;Matrix3f A;
Vector3f b;
A << 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10;
b << 3, 3, 4;// PartialPivLU 分解（推荐默认）
PartialPivLU<Matrix3f> lu(A);
Vector3f x = lu.solve(b); // 解 Ax = b// Cholesky 分解（正定矩阵）
LLT<Matrix3f> llt(A.transpose() * A); // A^T A 正定
Vector3f y = llt.solve(A.transpose() * b); // 解正规方程稀疏矩阵求解
cpp
#include <Eigen/Sparse>
SparseMatrix<double> mat(100, 100);
VectorXd b = VectorXd::Random(100);// SimplicialLLT 分解
SimplicialLLT<SparseMatrix<double>> solver;
solver.compute(mat);
VectorXd x = solver.solve(b);6. 选择分解方法的准则
| 矩阵类型 | 推荐分解类 | 原因 |
|---|---|---|
| 通用稠密方阵 | PartialPivLU | 平衡速度与稳定性 |
| 最小二乘问题（非对称） | ColPivHouseholderQR | 稳定性优于 HouseholderQR |
| 正定稠密矩阵 | LLT | 最快（约 2 倍加速） |
| 稀疏对称正定矩阵 | SimplicialLLT | 内存高效 |
注意事项
-
分解重用：若矩阵不变，可先调用
compute(A)再多次solve(b)提高效率。 -
数值稳定性：对于病态矩阵，优先选择
FullPivLU或ColPivHouseholderQR。 -
稀疏矩阵：分解前需调用
analyzePattern()优化内存分配。
通过合理选择分解类，可以显著提升计算性能！更多细节见 Eigen 文档。