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[洛谷 P1226] 快速幂求模题解
📌 题目链接
https://www.luogu.com.cn/problem/P1226
📝 题目描述
给定正整数 a、b 和质数 p，要求计算：
a^b % p
其中：
1 ≤ a ≤ 10^90 ≤ b ≤ 10^92 ≤ p ≤ 10^9
💡 解题思路
1. 直接计算不可行
由于 b 的范围可达 10^9，直接计算 a^b 会导致结果过大，无法在常规数据类型中存储。因此，需要一种高效的算法来计算 a^b % p。
2. 快速幂算法
快速幂算法（Exponentiation by Squaring）是一种高效计算大整数幂模的方法。其基本思想是利用二进制分解，将指数 b 转换为二进制形式，然后通过平方和乘法的方式快速计算幂值。
快速幂的递推关系：
- 当
b为偶数时：a^b = (a^(b/2))^2 - 当
b为奇数时：a^b = a * (a^(b-1))
通过不断将 b 右移一位（即除以 2），并根据 b 的奇偶性决定是否乘上当前的 a，可以在对数时间内计算出结果。
3. 模运算优化
在计算过程中，每一步都对结果取模 p，以避免中间结果溢出，并确保最终结果满足题目要求。
💻 代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;long long a, b, p;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> a >> b >> p;cout << a << "^" << b << " mod " << p << "=";long long ans = 1;a = a % p; // 防止 a 大于 pwhile (b) {if (b & 1) { // 如果 b 是奇数ans = ans * a % p;}a = a * a % p; // a^2 mod pb >>= 1; // b 右移一位，相当于 b /= 2}cout << ans;return 0;
}
🧩 代码解析
-
输入处理：使用
cin读取输入，a、b和p分别表示底数、指数和模数。 -
初始化：将
ans初始化为 1，用于存储最终结果。为了防止中间结果过大，先对a取模p。 -
快速幂循环：
- 当
b不为 0 时，进入循环。 - 如果
b是奇数（即b & 1为真），则将当前的a乘到ans上，并对p取模。 - 将
a自身平方，并对p取模。 - 将
b右移一位，相当于将b除以 2。
- 当
-
输出结果：输出计算结果。
⏱️ 时间复杂度分析
快速幂算法的时间复杂度为 O(log b)，其中 b 是指数。由于每次循环将 b 减半，因此循环次数为 log b。在每次循环中，进行常数次的乘法和取模操作，因此总时间复杂度为 O(log b)。
🔚 总结
通过使用快速幂算法，可以在对数时间内计算大整数的幂模，避免了直接计算可能导致的溢出问题。该算法在处理大规模数据时非常高效，是解决此类问题的常用技巧。