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梯度下降

梯度下降

• 最简单的迭代求解算法

• 选取开始点 ${\mathbf{x}}_0$，对 $t=1,\dots ,T$

  $${\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t-\eta \nabla f\left({\mathbf{x}}_t\right)$$
  $\eta$ 叫做学习率

随机梯度下降

• 有 $n$ 个样本时，计算 $f(\mathbf{x})=\frac{1}{n}{\sum }_{i=0}^n{\ell }_i(\mathbf{x})$ 的导数太贵，一般不用梯度下降
• 随机梯度下降在时间 $t$ 随机选项样本 $t_i$ 来近似 $f(x)$

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t-{\eta }_{t+1}\nabla {\ell }_{t_i}\left({\mathbf{x}}_t\right)\\ & \mathbb{E}\left[\nabla {\ell }_{t_i}(\mathbf{x})\right]=\mathbb{E}[\nabla f(\mathbf{x})]\end{array}$$

小批量随机梯度下降

• 这个基本上是深度学习中真正用的

• 计算单样本的梯度难完全利用硬件资源

• 小批量随机梯度下降在时间 $t$ 采样一个随机子集 I t ⊂ { 1 , … , n } I_t \subset\{1, \ldots, n\} It​⊂{1,…,n} 使得 $\left|I_t\right|=b$
  $${\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t-\frac{{\eta }_{t+1}}{b}\sum _{i\in I_t}\nabla {\ell }_i\left({\mathbf{x}}_t\right)$$
  b即是batch_size

• 同样，这是一个无偏的近似，但降低了方差
  $$\mathbb{E}\left[\frac{1}{b}\sum _{i\in I_t}\nabla {\ell }_i(\mathbf{x})\right]=\nabla f(\mathbf{x})$$

• 例子

  import torch
  import torch.nn as nn
  import matplotlib.pyplot as plt# 1. 准备数据 ，创建一些样本数据 X 和对应的真实标签 y, y = 2*X + 1 + noise, noise是噪音
  X = torch.randn(100, 1) * 10  # 100个样本，每个样本1个特征
  y_true = 2*X + 1 + torch.randn(100, 1) * 2 # 加上一些噪声# 2. 定义模型，使用线性回归模型
  class LinearRegressionModel(nn.Module):def __init__(self):super(LinearRegressionModel, self).__init__()self.linear = nn.Linear(1, 1) # 输入维度为1，输出维度为1def forward(self, x):return self.linear(x)model = LinearRegressionModel()# 打印模型初始化的随机参数
  print(f"训练前，随机初始化的权重和偏置: {list(model.parameters())}\n")# 3. 定义损失函数和优化器
  learning_rate = 0.001
  loss_fn = nn.MSELoss() # 使用均方误差损失
  # 使用随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent)
  optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), # 自动获取模型中所有需要训练的参数lr=learning_rate, # 学习率)# 4. 训练循环
  num_epochs = 10  # 训练迭代次数
  # 新增一个列表，用于记录每一次的loss值
  all_losses = []for epoch in range(num_epochs):# forwardy_pred = model(X)# 计算lossloss = loss_fn(y_pred, y_true)# 记录lossall_losses.append(loss.item())# -------- 梯度下降三步曲 --------# 4.1. 清零过往梯度optimizer.zero_grad()# 4.2. 计算当前梯度loss.backward()# 4.3. 更新模型参数optimizer.step()# 每50步打印损失信息if (epoch == 0) or ((epoch + 1) % 2) == 0:print(f'Epoch [{epoch+1}/{num_epochs}], Loss: {loss.item():.4f}')# 5. 查看训练结果
  print(f"\n训练后，学习到的权重和偏置，目标权重应接近 [2.]，偏置应接近 [1.]:\n {list(model.parameters())}")# 使用训练好的模型进行预测
  test_input = torch.tensor([[10.0]])
  predicted_value = model(test_input).item()
  print(f"\n使用训练好的模型预测 x=10 的值，y = {predicted_value:.4f}")# 6. 可视化结果 (新增部分)
  # 关闭梯度计算，以便进行绘图
  with torch.no_grad():# 创建一个 1 行 2 列的画布，设置画布大小fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))# --- 左图：数据散点图和拟合直线 ---ax1.set_title('Data and Regression Line')ax1.set_xlabel('X')ax1.set_ylabel('y')# 绘制原始数据 (X, y_true) 的散点图# .detach() 是为了从计算图中分离张量，.numpy() 是为了转换为numpy数组以供matplotlib使用ax1.scatter(X.detach().numpy(), y_true.detach().numpy(), label='Original Data')# 绘制模型学习到的拟合直线ax1.plot(X.detach().numpy(), model(X).detach().numpy(), color='red', label='Fitted Line')ax1.legend()# --- 右图：Loss下降曲线 ---ax2.set_title('Training Loss')ax2.set_xlabel('Epoch')ax2.set_ylabel('Loss')# 绘制loss随epoch变化的曲线ax2.plot(range(num_epochs), all_losses)# 调整子图布局，防止标题重叠plt.tight_layout()# 显示图形plt.show()
  

  """输出如下"""
  训练前，随机初始化的权重和偏置: [Parameter containing:
  tensor([[-0.3955]], requires_grad=True), Parameter containing:
  tensor([0.8991], requires_grad=True)]Epoch [1/10], Loss: 584.4702
  Epoch [2/10], Loss: 381.5853
  Epoch [4/10], Loss: 163.5495
  Epoch [6/10], Loss: 71.1610
  Epoch [8/10], Loss: 32.0131
  Epoch [10/10], Loss: 15.4249训练后，学习到的权重和偏置，目标权重应接近 [2.]，偏置应接近 [1.]:[Parameter containing:
  tensor([[1.7706]], requires_grad=True), Parameter containing:
  tensor([0.9309], requires_grad=True)]使用训练好的模型预测 x=10 的值，y = 18.6368
  

  

对比

• 下面是各梯度下降的对比

  特性	梯度下降 (GD)	随机梯度下降 (SGD)	小批量随机梯度下降 (MB-SGD)
  每次更新使用样本数	全部 (m)	单个 (1)	小批量大小 (b), 1<b<m
  梯度准确性	精确 (真实梯度)	噪声大 (高方差)	噪声较小 (方差降低)
  更新频率 (每epoch)	1	m	m/b
  单次更新计算成本	高 (O(m⋅d))	低 (O(d))	中等 (O(b⋅d))
  每epoch总计算成本	高 (O(m⋅d))	中等 (m⋅O(d)=O(m⋅d)，但串行且低效)	中等 ((m/b)⋅O(b⋅d)=O(m⋅d)，但可并行化)
  单次更新内存使用	可能较高 (需访问整个数据集)	低 (单个样本)	中等 (小批量样本)
  硬件并行化潜力	有限 (受限于单次大规模计算)	差 (本质上是串行的)	好 (可利用向量化/并行计算)
  收敛路径	平滑	震荡	比SGD平滑
  跳出局部极小点能力	容易陷入	因噪声可能跳出	可能跳出，但概率低于纯SGD

• 以下的图来自李沐的《动手学深度学习》

  可以看出，尽管在处理的样本数方面，随机梯度下降的收敛速度快于梯度下降，但与梯度下降相比，它需要更多的时间来达到同样的损失，因为逐个样本来计算梯度并不那么有效，也没有办法利用硬件资源。 小批量随机梯度下降能够平衡收敛速度和计算效率。 大小为10的小批量比随机梯度下降更有效； 大小为100的小批量在运行时间上甚至优于梯度下降。

原始梯度下降的缺陷

• 原始梯度下降有以下的缺陷

  1. 容易陷入拐点，鞍点，停止更新

  2. 缺乏加速机制，假设“缓坡”斜率为0.001，且我们给一个较大的学习率0.1,那么每一步走0.0001，假设缓坡长度为10个单位，则走完该“缓坡”需要10万步

  3. 难以跳出局部极小值，即使是一个很小的沟壑，也不一定能跳出

  4. 无法适应复杂的地形，以下图为例，可能会在悬崖地形中反复横跳，即在目标点和终点之间反复震荡，难以收敛

  5. 容易产生严重震荡

  6. 无法自适应调整学习率

     

• 优化

  原始梯度下降的公式
  $${\mathbf{x}}_{t+1}={\mathbf{x}}_t-\eta \nabla f\left({\mathbf{x}}_t\right)$$
  我们可以看到每一步梯度更新，与学习率$\eta$和当前梯度 $\nabla f\left({\mathbf{x}}_{t-1}\right)$ 相关,所以我们可以分别对这两部分进行优化，即以下两种策略：

  1. 对梯度项进行优化
  2. 对学习率进行优化