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为什么 $\arctan x$ 的导数是 $\frac{1}{1+x^2}$？

方法1：隐函数求导法

1. 设 $y=\arctan x$，则：

   $$x=\tan y$$

2. 对两边关于 $x$ 求导（隐函数求导）：

   $$\frac{d}{dx}(x)=\frac{d}{dx}(\tan y)$$

   $$1={\sec }^{2}y\cdot \frac{dy}{dx}$$

3. 解出 $\frac{dy}{dx}$：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}$$

4. 利用三角恒等式 ${\sec }^{2}y=1+{\tan }^{2}y$：

   $${\sec }^{2}y=1+x^2(\text{因为 }\tan y=x)$$

5. 最终结果：

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

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方法2：利用反函数导数公式

反函数的导数公式为：

$$\frac{d}{dx}{f}^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$$

1. 设 $f(y)=\tan y$，则 $f^{-1}(x)=\arctan x$。

2. 求 $f^{\prime }(y)$：

   $$f^{\prime }(y)=\frac{d}{dy}(\tan y)={\sec }^{2}y$$

3. 代入反函数导数公式：

   $$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{{\sec }^2(\arctan x)}$$

4. 化简 ${\sec }^2(\arctan x)$：

   • 设 $\theta =\arctan x$，则 $\tan \theta =x$。

   • 画一个直角三角形，设对边为 $x$，邻边为 $1$，斜边为 $\sqrt{1+x^2}$。

   • 因此：

     $$\sec \theta =\frac{\text{斜边}}{\text{邻边}}=\sqrt{1+x^2}$$

     $${\sec }^2\theta =1+x^2$$

5. 最终结果：

   $$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$$

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方法3：几何直观（斜率解释）

1. 函数 $y=\arctan x$ 表示的是 $x=\tan y$ 的反函数。

2. 导数 $\frac{dy}{dx}$ 表示的是 $y$ 关于 $x$ 的变化率。

3. 由于 $\tan y=x$，当 $x$ 增加时，$y$ 的增加速度取决于 $\tan y$ 的斜率。

4. $\tan y$ 的导数是 ${\sec }^{2}y$，因此：

   $$\frac{dx}{dy}={\sec }^{2}y⟹\frac{dy}{dx}=\frac{1}{{\sec }^{2}y}=\frac{1}{1+x^2}$$

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总结

• 核心步骤：通过隐函数求导或反函数导数公式，结合三角恒等式 ${\sec }^{2}y=1+{\tan }^{2}y$，最终得到：

  $$\frac{d}{dx}\arctan x=\frac{1}{1+x^2}$$

• 几何意义：导数表示的是 $\arctan x$ 的斜率，其值始终在 $(0,1]$ 之间（因为 $1+x^2\ge 1$），这与反正切函数的平滑增长特性一致。

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补充说明

• 该导数公式在积分中也非常重要，例如：

  $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$

• 反三角函数的导数公式通常可以通过类似的隐函数求导法推导，例如：

  $$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\frac{d}{dx}\arccos x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

• 关于函数性质的补充：

  • $\arctan x$ 是奇函数，定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$。
  • 它单调递增且光滑连续，在 $x\to \pm \infty$ 时趋近于水平渐近线 $\pm \frac{\pi }{2}$。
  • 因此它的导数（即斜率）越往两边越趋近于 0，但始终为正，体现其“变缓”的增长趋势。

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