网站 功能需求百度手机app

图论入门【数据结构基础】：什么是树？如何表示树？

之前我们有分别讲解二叉树的三种遍历的相关代码实现：
⭐算法OJ⭐二叉树的前序遍历【树的遍历】（C++实现）Binary Tree Preorder Traversal
⭐算法OJ⭐二叉树的中序遍历【树的遍历】（C++实现）Binary Tree Inorder Traversal
⭐算法OJ⭐二叉树的后序遍历【树的遍历】（C++实现）Binary Tree Postorder Traversal

二叉树的三种遍历【树的遍历】（C++实现）Binary Tree Traversal

二叉搜索树（BST）有一个非常重要的性质：中序遍历的结果是一个严格递增的序列。 如果对一棵二叉搜索树进行中序遍历（Inorder Traversal），得到的节点值的序列一定是从小到大严格递增的。

什么是中序遍历？

中序遍历是一种遍历二叉树的方式，顺序是：

• 遍历左子树。
• 访问根节点。
• 遍历右子树。

为什么 BST 的中序遍历是严格递增的？

二叉搜索树的定义是：

• 左子树的所有节点的值都小于根节点的值。
• 右子树的所有节点的值都大于根节点的值。
• 左右子树也必须是二叉搜索树。

根据这个定义，中序遍历的过程会先访问左子树（较小的值），然后访问根节点（中间的值），最后访问右子树（较大的值）。因此，遍历的结果一定是严格递增的。

举个例子

假设有一棵二叉搜索树：

      4/ \2   5/ \1   3

对这棵树进行中序遍历：

• 遍历左子树 2：
  • 遍历左子树 1，访问 1。
  • 访问 2。
  • 遍历右子树 3，访问 3。
• 访问根节点 4。
• 遍历右子树 5，访问 5。
• 最终的中序遍历结果是：[1, 2, 3, 4, 5]，这是一个严格递增的序列。

如何利用这个性质？

我们可以利用中序遍历的结果来判断一棵树是否是二叉搜索树：

• 对树进行中序遍历，记录遍历的结果。
• 检查遍历结果是否是严格递增的。
  • 如果是，则说明这是一棵二叉搜索树。
  • 如果不是，则说明这不是一棵二叉搜索树。

98. Validate Binary Search Tree

Given the root of a binary tree, determine if it is a valid binary search tree (BST).

A valid BST is defined as follows:

• The left subtree of a node contains only nodes with keys less than the node’s key.
• The right subtree of a node contains only nodes with keys greater than the node’s key.
• Both the left and right subtrees must also be binary search trees.

A subtree of treeName is a tree consisting of a node in treeName and all of its descendants.

Example 1:

Input: root = [2,1,3]
Output: true

Example 2:

Input: root = [5,1,4,null,null,3,6]
Output: false
Explanation: The root node's value is 5 but its right child's value is 4.

C++ 实现

bool isValidBST(TreeNode* root) {vector<int> inorder;inorderTraversal(root, inorder); // 中序遍历for (int i = 1; i < inorder.size(); i++) {if (inorder[i] <= inorder[i-1]) { // 检查是否严格递增return false;}}return true;
}void inorderTraversal(TreeNode* node, vector<int>& result) {if (node == nullptr) return;inorderTraversal(node->left, result); // 遍历左子树result.push_back(node->val);         // 访问根节点inorderTraversal(node->right, result); // 遍历右子树
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是二叉树的节点数，每个节点被访问一次。
• 空间复杂度：
  • 递归解法：$O(n)$，递归栈的深度。
  • 迭代解法：$O(n)$，栈的空间。