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3.1 线性回归的概念
在现实生活中，许多事情都遵循某种线性关系，比如：
- 房价 vs 面积：房子的面积越大，价格通常越高。
- 工资 vs 工作经验：工作经验越多，薪资往往更高。
- 汽车油耗 vs 车速：在一定范围内，车速越快，油耗可能越高。
线性回归（Linear Regression） 是机器学习中最基础的算法之一，它用于研究两个变量之间的线性关系，即一个变量（自变量）如何影响另一个变量（因变量）。
3.2 线性回归的数学直觉
线性回归的核心思想是找到一条最合适的直线，用来预测未知数据。
假设我们要预测房价（价格）与房屋面积（平方英尺）的关系，我们可以绘制一个散点图：
📌 示例：房价 vs 面积
| 面积（平方英尺） | 价格（万元） |
|---|---|
| 500 | 50 |
| 700 | 75 |
| 1000 | 100 |
| 1200 | 130 |
| 1500 | 160 |
当我们把数据点画在图上，可能会看到一个趋势：面积越大，房价越高。
1. 线性回归的公式
线性回归试图找到如下直线：
y = mx + b
其中：
- ( y ) 是预测值（如房价）
- ( x ) 是输入值（如面积）
- ( m ) 是斜率，表示面积对房价的影响程度
- ( b ) 是截距，表示当面积为 0 时，房价的基准值
2. 直觉理解
- 斜率（m）：如果 ( m ) 很大，表示面积对房价的影响很大（房价涨得快）。
- 截距（b）：如果 ( b ) 很大，说明即使房子面积很小，房价也不会太低。
我们让计算机来学习这条直线，使得它能最小化误差，即预测值与真实值之间的偏差尽可能小。
3.3 实践案例：预测房价
3.3.1 使用 Python 构建线性回归模型
我们使用 scikit-learn（简称 sklearn）来实现线性回归。sklearn 是 Python 机器学习的标准库，提供了各种算法和数据处理工具。
📌 3.3.2 代码实现
我们使用 sklearn.linear_model.LinearRegression 进行训练，并绘制预测结果。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression# 训练数据：房屋面积（平方英尺）
X = np.array([500, 700, 1000, 1200, 1500]).reshape(-1, 1) # 需要转换成二维数组
# 目标数据：房价（万元）
y = np.array([50, 75, 100, 130, 160])# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()# 训练模型
model.fit(X, y)# 预测房价
X_test = np.array([600, 800, 1100, 1400]).reshape(-1, 1) # 新面积数据
y_pred = model.predict(X_test) # 预测房价# 输出预测结果
for i in range(len(X_test)):print(f"面积 {X_test[i][0]} 平方英尺的预测房价：{y_pred[i]:.2f} 万元")# 解决中文显示问题
plt.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"] # Windows 和 Mac 可能需要不同字体
plt.rcParams["axes.unicode_minus"] = False # 解决负号显示问题# 绘制训练数据
plt.scatter(X, y, color='blue', label="实际数据")# 绘制预测的线
plt.plot(X, model.predict(X), color='red', label="回归直线")# 添加标题和标签
plt.xlabel("面积（平方英尺）")
plt.ylabel("房价（万元）")
plt.title("线性回归：房价预测")
plt.legend()
plt.show()
📌 3.3.3 代码解析
np.array([...]).reshape(-1, 1)：将数据转换成二维数组（因为sklearn需要二维输入）。LinearRegression().fit(X, y)：用X（面积）训练模型，使它学习面积与房价的关系。model.predict(X_test)：用训练好的模型预测新房价。
📌 3.3.4 运行结果
示例预测输出：
面积 600 平方英尺的预测房价：61.37 万元
面积 800 平方英尺的预测房价：83.28 万元
面积 1100 平方英尺的预测房价：116.15 万元
面积 1400 平方英尺的预测房价：149.01 万元
图表显示：
- 蓝色点：训练数据
- 红色直线：模型学习到的最优拟合线
3.4 关键难点总结
-
为什么要转换
X.reshape(-1, 1)？- 因为
sklearn要求X是二维数组（即n 行 1 列）。 - 如果
X是一维数组，需要.reshape(-1, 1)。
- 因为
-
如何衡量模型的好坏？
model.score(X, y)返回决定系数（R² 值），接近1说明模型拟合较好。
-
如果数据不符合线性关系怎么办？
- 线性回归适用于线性关系的数据。如果数据是非线性的，应该考虑多项式回归或神经网络。
3.5 课后练习
📌 练习 1：预测汽车价格
数据：
| 车型 | 里程（万公里） | 价格（万元） |
|---|---|---|
| A | 1 | 20 |
| B | 3 | 15 |
| C | 5 | 10 |
| D | 7 | 6 |
| E | 9 | 4 |
🚀 任务：
- 用 Python 实现线性回归，预测6 万公里和 8 万公里的汽车价格。
📌 练习 2：不同的数据集，结果会怎样？
- 修改房价数据，尝试增加/减少数据点，观察预测结果的变化。
- 思考：数据点少会导致什么问题？（过拟合还是欠拟合？）
3.6 练习讲解
如果你完成了练习 1，代码可能会类似于：
X = np.array([1, 3, 5, 7, 9]).reshape(-1, 1)
y = np.array([20, 15, 10, 6, 4])
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)X_test = np.array([6, 8]).reshape(-1, 1)
y_pred = model.predict(X_test)
print(y_pred)
你会发现二手车价格的下降趋势是线性的，而房价可能更复杂（非线性）。
3.7 本章小结
✅ 线性回归适用于线性关系的数据。
✅ sklearn 的 LinearRegression 可以快速实现训练和预测。
✅ **数据预处理（如 reshape）**是机器学习的基本技能。
✅ 可视化有助于理解模型效果。
🚀 下一章：我们将学习分类问题，并使用 逻辑回归 来预测数据类别！ 🎯