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之前文章链接：

开篇介绍：《深度学习进阶 自然语言处理》书籍介绍
第一章：《深度学习进阶 自然语言处理》第一章：神经网络的复习
第二章：《深度学习进阶 自然语言处理》第二章：自然语言和单词的分布式表示
第三章：《深度学习进阶 自然语言处理》第三章：word2vec
第四章：《深度学习进阶 自然语言处理》第四章：Embedding层和负采样介绍
第五章：《深度学习进阶 自然语言处理》第五章：RNN通俗介绍

上一章我们介绍了结构比较简单的RNN，存在环路的RNN可以记忆过去的信息，只是效果不好，因为很多情况下它都无法很好地学习到时序数据的长期依赖关系。为了学习到时序数据的长期依赖关系，我们增加了一种名为“门”的结构，具有代表性的有LSTM和GRU等“Gated RNN”。本章将指出上一章的RNN问题，重点介绍LSTM的结构，并揭示它实现“长期记忆”的机制。

6.1 RNN的问题

上一章的RNN不擅长学习时序数据的长期依赖关系，是因为BPTT会发生梯消失和梯度爆炸的问题。本节先回顾一下上一章介绍的RNN层，并通过实例来说明为什么不擅长长期记忆。

6.1.1 RNN的复习

RNN层存在环路，展开来看它是一个在水平方向上延伸的网络，如下图

$x_t$是输入的时序数据，$h_t$是输出的隐藏状态，记录过去信息。RNN正是使用了上一刻的隐藏状态所以才可以继承过去的信息。RNN层的处理用计算图来表示的话，如下图：

如上图所示，RNN层的正向传播进行的计算包含矩阵乘积、矩阵加法和基于激活函数tanh的变换。这是我们上一章介绍的RNN层，下面我们看一下这其中存在的问题，主要是关于长期记忆的问题。

6.1.2 梯度消失和梯度爆炸

语言模型的任务是根据已经出现的单词预测下一个将要出现的单词。RNN层通过向过去传递“有意义的梯度”，理论上是能够学习时间方向上的依赖关系。但是随着时间的回溯，这个梯度在中途不可避免的变小（梯度消失）或者变大（梯度爆炸），权重参数不能正常更新，RNN层也就无法学习长期的依赖关系。

根据上一节的第二张图展示的RNN层正向传播的计算，可知反向传播的梯度依次流经tanh、矩阵加和（“+”）和MatMul（矩阵乘积）运算。"+"的反向传播梯度值不变。当y = tanh(x)时，它的导数是$\frac{dy}{dx}=1-y^2$，分别画在图上如下图：

图中的虚线可以看出，tanh(x)导数的值小于1.0，随着x远离0，它的值变小。这意味着，反向传播的梯度经过tanh节点时，它的值会越来越小。

接着我们看一下MatMul（矩阵乘积）节点，简单起见，我忽略tanh节点，这样RNN层的反向传播的梯度仅取决于矩阵乘积运算。通过下面代码来观察梯度大小的变化。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltN = 2  # mini-batch的大小
H = 3  # 隐藏状态向量的维数
T = 20  # 时序数据的长度dh = np.ones((N, H))
# np.random.seed(6)  # 为了复现，固定随机数种子
Wh = np.random.randn(H, H)norm_list = []
for t in range(T):dh = np.dot(dh, Wh.T)norm = np.sqrt(np.sum(dh**2)) / Nnorm_list.append(norm)
print(norm_list)

多运行几次上面的代码可以发现，梯度的大小（norm值）随时间步长呈指数级增加/减小。为什么会出现这样的指数级变化呢？因为矩阵Wh被反复乘了T次。如果Wh是标量，当Wh大于1或小于1时，梯度呈指数级变化。但是Wh是矩阵，此时矩阵的奇异值作为指标。如果奇异值的最大值大于1，梯度可能呈指数级增加（必要非充分条件），最大值小于1，可以判断梯度会呈指数级减小。

6.1.4 梯度爆炸的对策

解决梯度爆炸有既定的方法，称为梯度裁剪（gradients clipping）。伪代码如下：
$$\begin{gathered} if||\hat{g}||\ge threshold: \\ \hat{g}=\frac{threshold}{||\hat{g}||}\hat{g} \end{gathered}$$
这里假设将神经网络用到的所有参数的梯度整合成一个，并用符号$\hat{g}$表示，阈值设为threshold。当梯度的L2范数$||\hat{g}||$大于或等于阈值，就按照上面的方法修正梯度，这就是梯度裁剪。

6.2 梯度消失和LSTM

为了解决RNN的梯度消失问题，人们提出了诸多Gated RNN框架，具有代表性的有LSTM和GRU，本节我们只关注LSTM，从结构入手，阐明它为何不会引起梯度消失。

6.2.1 LSTM的接口

我们先以简略图比较一下LSTM与RNN的接口：

LSTM比RNN的接口多了一个路径c，这个c称为记忆单元，是LSTM专用的记忆部门，其特点是仅在LSTM层内部接收和传递数据，不向其他层输出。

6.2.2 LSTM层的结构

$c_t$存储了时刻t时LSTM的记忆，可以认为其中保存了过去到时刻t的所有必要信息，基于$c_t$向外部输出隐藏状态$h_t$。二者的关系是$h_t$是$c_t$经过tanh函数变换后的记忆单元，$c_t$和$h_t$是按元素应用tanh函数，所以它们的元素个数相同。

进入下一项之前，我们需要特别说明的是，LSTM的门控并非只能“开/合“，还能通过”开合程度“来控制信息的流量。sigmoid函数的输出范围是0.0 ~ 1.0，所以用于求门的开合程度。

6.2.3 输出门

刚才介绍$h_t$和$c_t$关系时只提到应用了tanh函数，这里其实还考虑了对$tanh(c_t)$施加了“门控”，调整了$tanh(c_t)$的各个元素的重要程度。由于这里的门管理了$h_t$的输出，所以称为输出门（output gate）。公式如下：
$$o=\sigma (x_t{W}_x^{(o)}+h_{t-1}{W}_h^{(o)}+b^{(o)})$$
$o$与$tanh(c_t)$的对应元素乘积，得到$h_t$。

tanh的输出是 -1.0 ~ 1.0的实数，可以认为是表示某种被编码信息的强弱程度。sigmoid的输出是 0.0 ~ 1.0的实数，表示数据流出的比例。因此，多数情况下，门使用sigmoid函数作为激活函数，包含实质信息的数据使用tanh函数作为激活函数。

6.2.4 遗忘门

在记忆单元$c_{t-1}$上添加一个忘记不必要信息的门，称为遗忘门（forget gate）。公式如下：
$$f=\sigma (x_t{W}_x^{(f)}+h_{t-1}{W}_h^{(f)}+b^{(f)})$$
$f$与$c_{t-1}$对应元素的乘积求得传递到当前时刻的记忆信息（删除了应该忘记的信息）。

6.2.5 新的记忆单元

除了删除上一时刻的记忆单元中应该忘记的信息，我们还需要向这个记忆单元添加应当记住的新信息，为此添加新的tanh节点，公式如下：
$$g=tanh(x_{t}W{x}^{(g)}+h_{t-1}{W}_h^{(g)}+b^{(g)})$$
$g$表示新的信息。

6.2.6 输入门

对上面的新的记忆单元$g$添加门，控制信息流量（对新信息添加权重从而对信息进行取舍），称为输入门（input gate）。公式如下：
$$i=\sigma (x_t{W}_x^{(i)}+h_{t-1}{W}_h^{(i)}+b^{(i)})$$
然后，将$i$和$g$的对应元素的乘积作为最终的新记忆添加到记忆单元中。

LSTM的整个内部处理如下图所示：

6.2.7 LSTM的梯度的流动

上面介绍完LSTM的结构，观察记忆单元$c$的反向传播我们就会知道它为什么不会引起梯度消失。

记忆单元$c$的反向传播仅流过"➕"和“✖️”节点。“➕”节点将上游传来的梯度原样流出，所以梯度没有变化。“✖️”节点进行的是对应元素的乘积计算（RNN是相同权重矩阵重复多次的矩阵乘积），而且每次乘积的门值不同，门值调节着梯度的大小，所以LSTM的记忆单元不会（难以）梯度消失。

6.3 使用LSTM的语言模型

这里实现的语言模型和上一章几乎一样，唯一区别是这次用Time LSTM层替换了Time RNN层，如下图：

当前的使用LSTM层的语言模型有3点需要改进的地方，分别是：LSTM层的多层化、基于Dropout抑制过拟合和权重共享。

6.3.1 LSTM层的多层化

叠加多个LSTM层可以提高语言模型的精度，前一个LSTM层的隐藏状态是后面一个LSTM层的输入。具体要叠加几层，需要根据问题的复杂程度和数据规模来确定。

6.3.2 基于Dropout抑制过拟合

通过加深层，可以提高模型的表现力，但是这样往往会导致过拟合。抑制过拟合的常用方法有增加训练数据、降低模型的复杂度，以及对模型复杂度给予正则化的惩罚。Dropout也是一种正则化。考虑到噪声的积累，最好在垂直方向上插入Dropout层，这样无论沿时间方向（水平方向）前进多少，信息都不会丢失。常规的Dropout不适合用在时间方向上，但是"变分Dropout"可以，它的机制是同一层的Dropout使用相同的mask（决定是否传递数据的随机布尔值），因为mask被固定，信息的损失方式也被固定，所以可以避免常规Dropout发生的指数级信息损失。

6.3.3 权重共享

Embedding层和Affine层的权重共享，在不影响精度的提高的同时，可以大大减少学习的参数的数量，而且还能抑制过拟合。

6.4 总结

本章的主题是Gated RNN，我们先指出上一章的简单RNN中存在的梯度消失/爆炸问题，说明了作为替代层的Grated RNN（LSTM、GRU等）的有效性。介绍了使用LSTM层创建的语言模型，以及模型的优化。

下一章我们将介绍如何使用语言模型生成文本。