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从全连接到卷积

MLP的缺陷，假设有如下的场景：
分类猫和狗的图片

• 使用一个还不错的相机采集图片（12M像素)
• RGB图片有 36M元素
• 使用100大小的单隐藏层MLP，模型有 3.6B元素
  • 远多于世界上所有猫和狗总数(900M狗，600M猫)
    

在图片里面找模式的原则：1、平移不变性 2、局部性

重新考察全连接层

• 将输入和输出变形为矩阵（宽度，高度）

• 将权重变形为4-D张量（h, w）到（h’, w’）
  $$h_{i,j}=\sum _{k,l}{w}_{i,j,k,l}{x}_{k,l}=\sum _{a,b}{v}_{i,j,a,b}{x}_{i+a,j+b}$$

• V 是 W 的重新索引 $v_{i,j,a,b}=w_{i,j,i+a,j+b}$

原则 #1 - 平移不变性

• x 的平移导致 h 的平移 $h_{i,j}={\sum }_{a,b}{v}_{i,j,a,b}{x}_{i+a,j+b}$
• v 不应该依赖于 (i, j)
• 解决方案: $v_{i,j,a,b}=v_{a,b}$
  $$h_{i,j}=\sum _{a,b}{v}_{a,b}{x}_{i+a,j+b}$$这就是 2 维卷积(数学上叫 2 维交叉相关)

原则 #2 - 局部性

$$h_{i,j}=\sum _{a,b}{v}_{a,b}{x}_{i+a,j+b}$$

• 当评估 $h_{i,j}$ 时，我们不应该用远离 $x_{i,j}$ 的参数
• 解决方案：当 $|a|,|b|>\Delta$ 时，使得 $v_{a,b}=0$$$h_{i,j}=\sum _{a=-\Delta }^{\Delta }\sum _{b=-\Delta }^{\Delta }{v}_{a,b}{x}_{i+a,j+b}$$

总结

• 对全连接层使用平移不变性和局部性得到卷积层

$h_{i,j}={\sum }_{a,b}{v}_{i,j,a,b}{x}_{i+a,j+b}$ -> $h_{i,j}={\sum }_{a=-\Delta }^{\Delta }{\sum }_{b=-\Delta }^{\Delta }{v}_{a,b}{x}_{i+a,j+b}$

卷积层

二维交叉相关

二维卷积层

输入和输出的维度

• 输入 $\mathbf{X}$: $n_h\times n_w$
• 核 $\mathbf{W}$: $k_h\times k_w$
• 偏差 $b\in \mathbb{R}$
• 输出 $\mathbf{Y}$: $(n_h-k_h+1)\times (n_w-k_w+1)$$$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\star \mathbf{W}+b$$
• $\mathbf{W}$ 和 $b$ 是可学习的参数

交叉相关 vs 卷积

• 二维交叉相关
  $$y_{i,j}=\sum _{a=1}^h\sum _{b=1}^w{w}_{a,b}{x}_{i+a,j+b}$$

• 二维卷积
  $$y_{i,j}=\sum _{a=1}^h\sum _{b=1}^w{w}_{-a,-b}{x}_{i+a,j+b}$$

• 由于对称性，在实际使用中没有区别

一维和三维交叉相关

一维

$$y_i=\sum _{a=1}^h{w}_a{x}_{i+a}$$

• 文本
• 语言
• 时序序列

三维

$$y_{i,j,k}=\sum _{a=1}^h\sum _{b=1}^w\sum _{c=1}^d{w}_{a,b,c}{x}_{i+a,j+b,k+c}$$

• 视频
• 医学图像
• 气象地图

总结

• 卷积层将输入和核矩阵进行交叉相关，加上偏移后得到输出
• 核矩阵和偏移是可学习的参数
• 核矩阵的大小是超参数

代码

首先定义一个函数计算二维互相关运算：

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2ldef corr2d(X, K):  #@save"""计算二维互相关运算"""h, w = K.shape # 获取核矩阵的尺寸Y = torch.zeros((X.shape[0] - h + 1, X.shape[1] - w + 1)) #初始化输出矩阵for i in range(Y.shape[0]):for j in range(Y.shape[1]):Y[i, j] = (X[i:i + h, j:j + w] * K).sum() # 这里不是矩阵乘法，而是按元素乘法return Y

先来验证一下上述代码写的有没有问题：

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], [3.0, 4.0, 5.0], [6.0, 7.0, 8.0]])
K = torch.tensor([[0.0, 1.0], [2.0, 3.0]])
corr2d(X, K)

下面就实现二维卷积层：

class Conv2D(nn.Module):def __init__(self, kernel_size):super().__init__()self.weight = nn.Parameter(torch.rand(kernel_size))self.bias = nn.Parameter(torch.zeros(1))# 权重和偏置都是可以学习的def forward(self, x):return corr2d(x, self.weight) + self.bias

图像中目标的边缘检测

假设黑色为 0 ，白色为 1 ：

X = torch.ones((6, 8))
X[:, 2:6] = 0
X

接下来，我们构造一个高度为$1$、宽度为$2$的卷积核 K 。当进行互相关运算时，如果水平相邻的两元素相同，则输出为零，否则输出为非零。

K = torch.tensor([[1.0, -1.0]])
# 这个卷积核k只可以检测垂直的边缘
Y = corr2d(X, K)
Y

但是上述实现的卷积核 K 只可以检测垂直边缘：
下图可以发现，将矩阵转置后，就检测不出来了

是否可以学习由 X 生成 Y 的卷积核呢？

# 构造一个二维卷积层，它具有1个输出通道和形状为（1，2）的卷积核
conv2d = nn.Conv2d(1,1, kernel_size=(1, 2), bias=False)# 这个二维卷积层使用四维输入和输出格式（批量大小、通道、高度、宽度），
# 其中批量大小和通道数都为1
X = X.reshape((1, 1, 6, 8))
Y = Y.reshape((1, 1, 6, 7))
lr = 3e-2  # 学习率for i in range(10):Y_hat = conv2d(X) # 通过卷积层 conv2d 对输入张量 X 进行卷积操作得到的预测值。l = (Y_hat - Y) ** 2 #使用一个均方误差conv2d.zero_grad()  # 将梯度设为0 l.sum().backward()# 迭代卷积核：梯度下降conv2d.weight.data[:] -= lr * conv2d.weight.gradif (i + 1) % 2 == 0:print(f'epoch {i+1}, loss {l.sum():.3f}')

下图可以发现，和构造出来的[-1,1]很接近了：

QA 思考

Q1：为什么不应该看那么远？感受野不是越大越好吗?
A1：这就类似于全连接层，我把层做的很浅很胖，效果没有我把层做的很深很瘦的好，尽管数学上两者是等价的。这里做一个小的 Kernel ，做的比较深 ，实践表明是最好的。

Q2：二维卷积层，有没有可能同时使用两个不同尺寸的Kernel进行计算，然后再计算出一个更合适的Kernel，从而提高特征提取的性能。
A2：GoogleNet 论文的设计思路。