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L1正则化和L2正则化是机器学习中常用的两种正则化方法，用于防止模型过拟合。它们的区别主要体现在数学形式、作用机制和应用效果上。以下是详细对比：
1. 数学定义
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L1正则化（也叫Lasso正则化）：
在损失函数中加入权重参数的绝对值之和，即 λ ∑ ∣ w i ∣ \lambda \sum |w_i| λ∑∣wi∣。
公式：
L o s s = L o s s 原始 + λ ∑ ∣ w i ∣ Loss = Loss_{原始} + \lambda \sum |w_i| Loss=Loss原始+λ∑∣wi∣
其中 w i w_i wi 是模型的权重参数， λ \lambda λ 是正则化强度的超参数。 -
L2正则化（也叫Ridge正则化）：
在损失函数中加入权重参数的平方和，即 λ ∑ w i 2 \lambda \sum w_i^2 λ∑wi2。
公式：
L o s s = L o s s 原始 + λ ∑ w i 2 Loss = Loss_{原始} + \lambda \sum w_i^2 Loss=Loss原始+λ∑wi2
2. 几何解释
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L1正则化：
在参数空间中，L1正则化对应一个菱形（或高维的绝对值约束）。优化时，损失函数的最优解倾向于落在菱形的顶点上，导致部分权重被精确地压缩到0，具有稀疏性。 -
L2正则化：
对应一个圆形（或高维球面约束）。优化时，权重倾向于均匀缩小，但不会精确到0，而是变得很小。
3. 作用效果
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L1正则化：
- 倾向于产生稀疏解，即部分权重变为0。
- 适合特征选择，因为它可以自动剔除不重要的特征。
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L2正则化：
- 倾向于让所有权重变小但不为0，保持权重分布更平滑。
- 更适合处理多重共线性（特征之间高度相关）的情况。
4. 计算复杂度
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L1正则化：
由于绝对值函数不可导，优化时需要特殊的算法（如次梯度下降或坐标下降法），计算复杂度稍高。 -
L2正则化：
平方项是连续可导的，可以直接用梯度下降等方法优化，计算上更简单。
5. 应用场景
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L1正则化：
- 当特征数量很多且你怀疑只有少部分特征重要时（如高维数据降维）。
- 示例：Lasso回归。
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L2正则化：
- 当所有特征都可能有贡献，但需要控制权重大小以避免过拟合时。
- 示例：Ridge回归、神经网络中的权重衰减。
6. 组合使用
在实践中，L1和L2正则化可以结合使用，称为Elastic Net，公式为：
L o s s = L o s s 原始 + λ 1 ∑ ∣ w i ∣ + λ 2 ∑ w i 2 Loss = Loss_{原始} + \lambda_1 \sum |w_i| + \lambda_2 \sum w_i^2 Loss=Loss原始+λ1∑∣wi∣+λ2∑wi2
这种方法兼具L1的稀疏性和L2的平滑性。
总结
| 特性 | L1正则化 | L2正则化 |
|---|---|---|
| 惩罚项 | 绝对值 w w w | 平方 w 2 w^2 w2 |
| 权重结果 | 稀疏（部分为0） | 小但非0 |
| 几何形状 | 菱形 | 圆形 |
| 主要用途 | 特征选择 | 权重平滑、防止过拟合 |
| 计算难度 | 稍高 | 较低 |
简单来说，L1更像“选择性淘汰”，L2更像“整体削弱”。根据具体任务需求选择合适的正则化方法！
补充： L 21 n o r m L_{21}norm L21norm范数正则化与Elastic Net 的区别
Elastic Net和L21范数正则化是两种不同的正则化方法，它们的主要区别如下：
- 原理不同
- Elastic Net：结合了L1和L2正则化的特点，在损失函数中同时引入L1范数和L2范数作为正则化项，通过一个混合参数来平衡两者的贡献。其正则化项的表达式为(R(\boldsymbol{w})=\lambda_1|\boldsymbol{w}|_1+\lambda_2|\boldsymbol{w}|_2^2)，其中(\boldsymbol{w})是模型的参数，(\lambda_1)和(\lambda_2)是正则化参数。
- L21范数正则化：是对矩阵的每一行或每一列的L2范数进行求和，然后将其作为正则化项添加到损失函数中。对于一个矩阵(\boldsymbol{W})，其L21范数正则化项的表达式为(R(\boldsymbol{W})=\sum_{i}|\boldsymbol{w}_i|_2)，其中(\boldsymbol{w}_i)表示矩阵(\boldsymbol{W})的第(i)行或第(i)列。
- 应用场景不同
- Elastic Net：常用于线性回归、逻辑回归等模型中，当数据存在多个相关特征时，它可以有效地选择出重要的特征，并对模型进行正则化，防止过拟合。
- L21范数正则化：在一些需要对矩阵结构进行约束的场景中更为常用，如图像处理、信号处理等领域，它可以用于特征选择、矩阵分解等任务。
- 效果不同
- Elastic Net：由于同时包含L1和L2正则化的特性，它既能够实现特征的稀疏性，又能够对模型的参数进行平滑处理，使得模型具有较好的泛化能力。
- L21范数正则化：主要作用是促进矩阵的行或列的稀疏性，使得一些行或列的元素趋近于零，从而实现特征选择或矩阵结构的简化。
Elastic Net和L21范数正则化在原理、应用场景和效果等方面都存在一定的区别，在实际应用中，需要根据具体的问题和数据特点选择合适的正则化方法。