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机器学习（Machine Learning）

简要声明

基于吴恩达教授(Andrew Ng)课程视频
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一、逻辑回归的基本原理

逻辑回归是一种常用的分类算法，它可以将线性回归的输出映射到概率空间，从而实现二分类或多分类任务。其核心思想是通过一个线性函数来拟合数据，然后使用激活函数将其输出限制在 [0, 1] 区间内，表示为概率值。

逻辑回归模型的数学表达式为：

$$f_{w,b}(x)=\sigma (wx+b)$$

其中，$f_{w,b}(x)$ 是模型的输出，$w$ 和 $b$ 分别是权重和偏置项，$\sigma$ 是激活函数，通常使用 Sigmoid 函数，其定义为：

$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

通过 Sigmoid 函数，我们可以将线性回归的输出 $z=wx+b$ 转换为概率值。当 $z$ 很大时，$\sigma (z)$ 接近于 1；当 $z$ 很小时，$\sigma (z)$ 接近于 0。

• 在单变量图中，阳性结果同时显示为红色的 ‘X’ 和 y=1。阴性结果为蓝色 ‘O’，位于 y=0 处。
  在线性回归的情况下，y 不限于两个值，而是可以是任何值。
• 在双变量图中，y 轴不可用。正面结果显示为红色“X”，而负面结果则使用蓝色“O”符号。
  在具有多个变量的线性回归的情况下，y 不会局限于两个值，而类似的图应该是三维的。

分类判断条件

在分类任务中，根据模型的输出来判断样本的类别。逻辑回归模型的分类判断条件如下：

条件	分类结果
$f_{w,b}(x)\ge 0.5$	$\hat{y}=1$
$f_{w,b}(x)<0.5$	$\hat{y}=0$

决策边界的选择会影响模型的分类结果，可能需要根据具体问题调整。

模型输出的解释

逻辑回归模型的输出可以解释为样本属于正类（1）的概率。数学表达式为：

$$f_{\overrightarrow{w},b}(\overrightarrow{x})=P(y=1|\overrightarrow{x};\overrightarrow{w},b)$$

这意味着，给定输入特征 $\overrightarrow{x}$ 和模型参数 $\overrightarrow{w},b$，模型输出的是样本 $y$ 属于正类（1）的概率。例如，如果 $f_{\overrightarrow{w},b}(\overrightarrow{x})=0.7$，表示模型预测该样本有 70% 的概率属于正类（1）。

由于概率的性质，我们有：

$$P(y=0)+P(y=1)=1$$

Sigmoid 函数与 Logistic 函数

为了将线性回归的输出限制在 [0, 1] 区间内，逻辑回归使用了 Sigmoid 函数（也称为 Logistic 函数）。其数学定义为：

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

其中，$z$ 是线性回归的输出，即：

$$z=\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{x}+b$$

通过 Sigmoid 函数，线性回归的输出被转换为概率值。Sigmoid 函数的曲线显示，当 $z$ 很大时，$g(z)$ 接近于 1；当 $z$ 很小时，$g(z)$ 接近于 0。

逻辑回归模型的输出范围

逻辑回归模型的输出范围在 0 和 1 之间，得益于 Sigmoid 函数的特性：

$$0<g(z)<1$$

因此，逻辑回归模型的输出可以解释为概率值，表示样本属于正类（1）的可能性。

# Generate an array of evenly spaced values between -10 and 10
z_tmp = np.arange(-10,11)y = sigmoid(z_tmp)np.set_printoptions(precision=3) 
print("Input (z), Output (sigmoid(z))")
print(np.c_[z_tmp, y])

输出结果为

实际应用示例

可以看见线性函数受数据影响很大


逻辑函数很好地拟合了数据

以肿瘤大小（直径，单位为厘米）为输入特征 $x$，肿瘤是否为恶性（1 表示恶性，0 表示良性）为输出 $y$。逻辑回归模型可以预测给定肿瘤大小的情况下，肿瘤为恶性的概率。

例如，假设模型预测当肿瘤大小为某个值时，$f_{\overrightarrow{w},b}(\overrightarrow{x})=0.7$，意味着模型认为该肿瘤有 70% 的概率为恶性。

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