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G. Specified Range Sums

题意

有三个长度为 $M$ 的序列 $L,R,S$，你要判断是否存在一个长度为 $N$ 的 正整数 序列 $A$，满足以 ${\sum }_{j=L_i}^{R_i}{A}_j=S_i$。

若存在，找到最小的 ${\sum }_{j=1}^N{A}_j$；否则，输出 -1。

思路

首先，我们考虑将求和转换为前缀和，即定义 $C_i={\sum }_{j=1}^i{A}_j$，则$C_{R_i}-C_{L_i-1}=S_i$。

建立有向图，顶点编号为 $0\sim n$，这样连边：$(L_i-1,R_i)=S_i$，$(R_i,L_i-1)=-S_i$。另外，由于是正整数序列，所以 $(i+1,i)=-1$。

我们需要计算 $n\to 0$ 的最短路，答案即为这个值的相反数。

注意：无解时图中有负环，所以 $\text{Dijkstra}$ 不可以。考虑可以处理负环的 $\text{Bellman-Ford}$ 算法（不会没关系，下面讲）：

与图上动态规划相似，定义 $di{s}_i$ 表示 从 $n$ 到 $i$ 的最短路，$di{s}_n=0$，其余为 $\infty$。

共进行 $N$ 次操作，每次操作如下：

• 对于每一条有向边 $(u,v)=w$，$di{s}_v=\min (di{s}_v,di{s}_u+w)$，共 $M$ 条边。

复杂度为 $O(NM)$，通常把上述操作称作 松弛(relax)。

在这 $N$ 次松弛之后，再执行第 $N+1$ 次操作，若还可以继续执行松弛操作，就说明图中存在负环，无解，输出 $-1$。

最终答案即为 $-di{s}_0$。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int inf=3e18;
const int maxn=4005;
int n,m;
struct Node{int u,v,w;
};
vector<Node> v;
int dis[maxn];
signed main(){cin>>n>>m;//建图 连边for(int i=1;i<=m;i++){int l,r,s;cin>>l>>r>>s;v.push_back({l-1,r,s});v.push_back({r,l-1,-s});}for(int i=0;i<n;i++) v.push_back({i+1,i,-1});//初始化for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=inf;dis[n]=0;//Bellman-Ford计算最短路  直接将第N+1次操作放入循环中for(int i=1;i<=n+1;i++){for(Node e:v){if(dis[e.v]>dis[e.u]+e.w){if(i==n+1){//若已经执行完n+1次松弛还可以继续执行，则无解cout<<-1<<endl;return 0;}dis[e.v]=dis[e.u]+e.w;}}}cout<<-dis[0]<<endl;	return 0;
}