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一、无监督学习

• 无监督学习：与监督学习不同，数据没有标签，训练集仅包含输入特征，没有输出标签。
• 任务：让算法发现数据的内在结构，比如聚类。
• 应用场景：
  • 市场细分：将客户分成不同群体，做个性化营销。
  • 社交网络分析：找关系密切的人群。
  • 计算机集群资源优化：根据协作频率重新分配资源。
  • 天文学研究：星系形成研究等。

二、K-均值算法

• K-均值简介：最常用的聚类算法，把数据分为 K 个簇。

• 算法步骤：

  1. 随机选择K个聚类中心（centroids）。
  2. 对每个样本，将其归类到最近的聚类中心。
  3. 更新每个簇的聚类中心为该簇所有点的均值。
  4. 重复步骤 2 和 3 直到聚类中心不再变化。

• 伪代码：

  Repeat {for i = 1 to m:c(i) := index of closest cluster centroid to x(i)for k = 1 to K:μ_k := mean of points assigned to cluster k
  }
  

三、优化目标

• 代价函数（畸变函数）：
  $$J(c^{(1)},\dots ,c^{(m)},{\mu }_1,\dots ,{\mu }_K)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m\Vert x^{(i)}-{\mu }_{c^{(i)}}{\Vert }^2$$

• 目标是最小化所有样本到其最近聚类中心的距离平方和。

• 每次迭代通过更新簇分配和簇中心，保证代价函数单调递减。

四、随机初始化

• 先随机选择 K 个训练样本作为初始聚类中心。
• K-均值可能陷入局部最小值，结果依赖初始化。
• 常用做法：多次运行 K-均值算法，选择代价函数最小的结果。

五、选择聚类数

• 无最佳选择 K 的方法，需结合实际应用场景判断。
• 肘部法则（Elbow Method）：
  • 运行不同 K 值的 K-均值，计算代价函数（畸变值）。
  • 画出 K 值与代价函数的曲线，寻找 “肘部” 点（代价函数下降趋势变缓处）。
  • “肘部” 对应的K值常作为较合理的聚类数。

参考资料

相似度/距离计算方法

• 闵可夫斯基距离（Minkowski distance）
  $$D(x,y)={\left(\sum _{i=1}^n|x_i-y_i{|}^p\right)}^{1/p}$$

  • 欧式距离是 $p=2$ 特例。

• 杰卡德相似系数（Jaccard similarity）
  $$J(A,B)=\frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$$

• 余弦相似度（Cosine similarity）
  $$\cos (\theta )=\frac{x\cdot y}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert }$$

• Pearson相关系数

  • 测量两个变量的线性相关性。

聚类的衡量指标

• 均一性（Homogeneity）
  一个簇中只包含单一类别的样本。
• 完整性（Completeness）
  同一类别的样本尽可能被归为同一簇。
• V-measure
  均一性和完整性的调和平均。
• 轮廓系数（Silhouette Coefficient）
  衡量聚类的紧密度和分离度，值范围 [-1,1]，越接近1越合理。
• ARI (Adjusted Rand Index)
  衡量两个聚类结果的相似度。

六、数据压缩

• 目的：减少特征数量，降低存储和计算成本。
• 示例：长度用厘米和英寸两个特征，冗余，可以降至一个维度。
• 降维可以简化模型，去除冗余信息，提高算法效率。

七、数据可视化

• 高维数据难以直观展示，降维到2维或3维方便可视化。
• 注意：降维后新特征的意义需要人为解释。

八、主成分分析问题（PCA）

• 目标：找到方向向量，使数据投影到该方向时，投影误差最小。
• 投影误差指数据点到该方向向量垂直距离的平方和。
• PCA与线性回归区别：
  • PCA最小化投影误差，不做预测。
  • 线性回归最小化预测误差。
• PCA可用于数据压缩，保持最大数据方差。

九、主成分分析算法

• 步骤：
  1. 均值归一化：对每个特征减去均值，除以标准差。
  2. 计算协方差矩阵 $\Sigma =\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}{x}^{(i)T}$。
  3. 奇异值分解（SVD） 计算特征向量矩阵 $U$。
  4. 选取前 $k$ 个特征向量构成矩阵 $U_{\text{reduce}}$，用于降维。
  5. 新数据表示：$z^{(i)}=U_{\text{reduce}}^T{x}^{(i)}$。

十、选择主成分的数量

• 选择使得保留的方差比例满足一定阈值（例如 95%）。

• 计算投影后的方差占总方差比例：
  $$\frac{{\sum }_{i=1}^k{S}_{ii}}{{\sum }_{i=1}^n{S}_{ii}}\ge \text{threshold}$$