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目录

一、快速傅里叶变换（FFT）的实现

1.1        实验目的

​​​​​​​1.2        实验原理

​​​​​​​​​​​​​​1.3        实验内容

1.4         实验代码

1.5        实验结果

1.5.1         DFT幅频/相频曲线（N=64）、频谱泄露

1.5.2         逆（快速）离散傅里叶变换

二、时域-频域的圆周（时反）共轭与圆周共轭（反）对称关系

2.1         实验目的

2.2         实验原理

2.3        实验内容

2.4        实验代码

2.5        实验结果

进阶阅读

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一、快速傅里叶变换（FFT）的实现

​​​​​​​1.1        实验目的

1. 加深对FFT逐层基本机制的理解；
2. 掌握频谱泄露的原因，并为应用实验的频率计算寻找方法建立基础。

​​​​​​​1.2        实验原理

       FFT的每一层都可以理解成a个最小（交叉元个数为基数M）蝶式交叉计算的组合，而后通过迭代的方式实现FFT——根据时域基数间隔插值和频域基数间隔插值的不同，分为“蝴蝶增长式”和“蝴蝶衰减式”；

       本实验仅完成单层/单个蝴蝶增长式单元的FFT，也就是时域插值法。

Figure 1   蝴蝶增长式FFT（华南理工大学电信学院宁更新老师课件 Chapter5-V3 P63）

Figure 2   蝴蝶衰减式FFT，相当于蝴蝶增长式FFT的转置逆网络，笔者认为层级迭代计算需要进行到底，第一层和中间层的变换都是DFT的逆过程没有实际含义（华南理工大学电信学院宁更新老师课件 Chapter5-V3 P71）

蝴蝶增长式FFT：在每一个最小蝶式计算中，通过分解原实数（复数）序列为基数M（2M）个实数序列-进行M次（N/M）点的DFT运算-通过k(i-1)阶旋转向量Θk(i-1)= WNk(i-1)和t(i-1)阶平移向量Ψt(i-1)=(e-j2π/M)**t(i-1)实现DFT的快速计算。理论推导见下图。

Figure 3   基数为M的N点FFT最小单元计算

Figure 4   基数为M的N点FFT最小单元（结论）

一般情况下，基数M=2；MATLAB内置的FFT和IFFT的基数应该都只能是2，笔者的代码也是以2作为基数。

​​​​​​​​​​​​​​1.3        实验内容

1.4         实验代码

function [X_k]=f_dft_2_fft(x,draw)（单个单元FFT（数组级操作））

function [X_k]=s_dft_2_fft(x) （单个单元FFT（元素级操作））

IDFT/DFT（手动编程，MATLAB内置函数为fft/ifft）

主函数

1.5        实验结果

1.5.1         DFT幅频/相频曲线（N=64）、频谱泄露

Figure 5   截断长度L=64，1倍周期截取，相位规范化

Figure 6   截断长度L=192, 1倍周期截取，后128位补0，相位规范化（频域与采样函数卷积积分再离散化），可以用大点数DFT逼近DTFT

Figure 7   截断长度L=192，3倍周期N截取，相位规范化，可以求得3倍精度的谱线

Figure 8   截断长度L=96，1.5倍周期N截取，相位规范化（频谱泄露，没有作用，需要杜绝）

在Figure 8中，由于截断或者采样序列长度和实际基本周期的非整数倍关系，造成了频谱泄露现象，这就引出了频偏的概念：频偏——信号真实频率和采样序列幅度频谱【小频率范围内】谱峰频率的频率偏差，和通信工程里“信号频率相对于预定频率的偏移”的定义不同，实际上第二种定义里的信号频率也需要通过硬件采样测算，所以其实频偏有两种理解，测算偏移（较小误差）和传输偏移（传输干扰）。

信号频率估计是工程应用中非常常见的话题，学术大牛和算法工程师们研究出一系列方法在有白噪声干扰、存在频谱泄露的情况下，通过插值、插值平均、求和平均等策略估算频偏，以较精准稳定地测算出被采样信号的真实频率。笔者也进行了仿真实验的代码模拟和初步原理解读，跳转链接在文末（大实验2.2）。

Figure 9   多层对数级FFT（MATLAB内置）-单个单元FFT（数组级操作）-单个单元FFT（元素级操作）-DFT 算法的运行时间对比，1000次64点DFT运算，时域信号和第一个小题中相同，如前所示（单位：秒）

1.5.2         逆（快速）离散傅里叶变换

                 注意IFFT和IDFT的区别，IFFT通过FFT和两次共轭操作实现性能优化。

Figure 10        利用共轭性质和FFT算法实现IFFT（华南理工大学电信学院宁更新老师课件Chapter5-V3 P76）

Figure 11 实验结果1.5.2       64点IFFT

二、时域-频域的圆周（时反）共轭与圆周共轭（反）对称关系

2.1         实验目的

 1、加深对时域-频域的圆周（时反）共轭与圆周共轭（反）对称关系的理解。

2.2         实验原理

Figure 12 时域-频域的圆周（时反）共轭与圆周共轭（反）对称-6对关系

        总共6对关系：时域信号的（圆周）共轭、圆周时反共轭、圆周共轭对称、圆周共轭反对称、实部、j*虚部与频域谱线的圆周时反共轭、（圆周）共轭、实部、j*虚部、共轭、圆周共轭对称、圆周共轭反对称。

2.3        实验内容

1.自己设计一个N点复序列，编程验证表5.1中的对称性质。

2.4        实验代码

function []=symmetry(cx)

主函数

2.5        实验结果

本实验没有使用IFFT，仅在时域操作结合FFT或者在频域操作。

蓝色或青色代表时域操作+FFT，红色或品红色代表频域的操作（没有经过FFT变换）。

Figure 13        -π和﹢π的相位是等效的

进阶阅读

1、数字信号处理大实验2.2(工程应用模拟） 利用FFT估计信号的频率-CSDN博客