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洛谷P1015 [NOIP 1999 普及组] 回文数 题解

题目描述

P1015 回文数 是NOIP 1999普及组的经典模拟题。题目要求如下：

给定一个数N（十进制）和进制K（2≤K≤16），将N转换为K进制表示后，通过以下操作使其变为回文数：

1. 将当前数与其逆序数相加
2. 重复操作直到得到回文数或超过30次操作

输入格式：

• 第一行输入进制K（2≤K≤16）
• 第二行输入十进制数N（1<N≤1e9）

输出格式：

• 若30步内得到回文数，输出STEP=步数
• 否则输出Impossible!

解题思路

本题是典型的进制转换+模拟操作问题，核心在于：

1. 正确实现大数的K进制转换
2. 高效处理大数加法与进位
3. 准确判断回文数

关键算法步骤

1. 进制转换：将十进制数N转换为K进制表示
2. 回文判断：检查当前数是否为回文
3. 加法模拟：实现大数与其逆序数的加法运算
4. 进位处理：处理不同进制下的进位逻辑

代码解析（附用户代码讲解）

以下是用户提供的代码的逐层解析：

#include<bits/stdc++.h>
#include<string>
using namespace std;int N;          // 目标进制
int step = 0;   // 操作步数
int len = 0;    // 当前数位长度
int ans[205] = {0};  // 存储K进制数（低位在前）
int tem[205] = {0};  // 临时反转数组
int re[205] = {0};   // 未使用（可忽略）// 回文数检查函数
int Check() {for(int i=0; i<len/2; ++i) {if(ans[i] != ans[len-i-1]) return -1;}return 1;
}// 加法操作函数
void play() {// 反转数组到temfor(int i=0; i<len; ++i) tem[i] = ans[len-i-1];// 执行加法for(int i=0; i<len; ++i) ans[i] += tem[i];// 进位处理for(int i=0; i<len; ++i) {if(N != 16) {  // 非16进制通用处理if(ans[len-1] >= N) len++;ans[i+1] += ans[i] / N;ans[i] %= N;} else {        // 16进制特殊处理if(ans[len-1] >= 16) len++;ans[i+1] += ans[i] / 16;ans[i] %= 16;}}
}int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);string s;cin >> N >> s;len = s.length();// 初始化K进制数（注意低位存储方式）for(int i=0; i<len; ++i) {if(isdigit(s[len-i-1]))ans[i] = s[len-i-1] - '0';elseans[i] = s[len-i-1] - 'A' + 10;}if(Check() == 1) {  // 初始即为回文cout << "STEP=0";} else {while(step <= 30) {play();step++;if(Check() == 1) break;}if(step <= 30)cout << "STEP=" << step;elsecout << "Impossible!";}return 0;
}

代码特点分析

1. 低位优先存储：使用数组ans[]的低位在前方式存储，简化进位操作
2. 双模式进位处理：通过N != 16判断统一处理不同进制
3. 动态长度维护：通过len变量动态跟踪当前数位长度

优化方案与注意事项

优化方向

1. 预分配数组空间：可预先分配200位空间，避免频繁扩容
2. 提前终止判断：在加法操作前即可判断是否已产生回文
3. 进制处理统一化：将16进制特殊处理合并到通用逻辑中

关键细节说明

1. 输入处理：

   • 使用len-i-1实现字符串反转初始化
   • 正确处理字母A-F（10-15）的转换

2. 进位逻辑：

   • 从低位到高位处理进位
   • 每次加法后检查最高位是否需要扩容

3. 回文判断：

   • 只需检查前半部分与对应后半部分是否相等

测试样例分析

示例1

输入：

9
87

输出：

STEP=4

过程：

87(10) = 106(9)
106 + 601 = 707（回文，4步）

示例2

输入：

10
196

输出：

Impossible!

（著名的回文数猜想反例）

复杂度分析

• 时间复杂度：O(30*L)，其中L为最大数位长度（≤200）
• 空间复杂度：O(L)，使用固定大小数组存储

总结

1. 本题核心是掌握大数运算在模拟题中的应用
2. 关键点在于：
   • 正确实现进制转换
   • 高效处理大数加法与进位
   • 准确判断回文结构
3. 实际编程时需特别注意：
   • 数组越界问题（动态维护len变量）
   • 不同进制的字符处理（0-9和A-F）
   • 步骤计数器的初始值与终止条件

通过本题可以巩固：

• 进制转换的双向实现
• 大数运算的基本技巧
• 模拟算法的优化策略