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树状数组

树状数组，正如起名是一个逻辑上为树结构的数组，其结构如下图所示

可见其二进制位从低位到高位，0的个数决定该结点在第几层，例如结点1(00001)，从低位到高位有0个0，所以在第0层，结点4(00100),从低位到高位有2个0，所以在第2层

通过观察，还能看到，一个结点的父结点是该结点加上lowbit(x)

树状数组t[i] 存储的是(x - lowbit(x), x]的值（左开右闭）

其中lowbit(x) 表示的是能够返回一个二进制序列从最后一位1的结果

如果x为10100，取反后结果是01011，再加一则变为了01100，再与10100做与运算后变为00100

了解了树状数组的结构，那么树状数组有什么应用

• 单点修改
• 区间查询

这两个是树状数组最基本的应用

单点修改的操作是在单点修改的同时，迭代更新父节点

/**
* 在x个数加上k
*/
int add(int x,int k)
{for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))t[i]+=k;
}

区间查询就是迭代加上t[i]，每次i -= lowbit(i)

/**
* 查询从第1-x个数的和
*/
int query(int x) {int res = 0;for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {res += tree[i];}return res;
} 

【例题】

给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的连续和。

输入格式

第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。

第二行包含 n 个整数，表示完整数列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。

数列从 1 开始计数。

输出格式

输出若干行数字，表示 k=0 时，对应的子数列 [a,b] 的连续和。

数据范围

1≤n≤100000,
1≤m≤100000，
1≤a≤b≤n,
数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。

输入样例：

10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8

输出样例：

11
30
35

import java.io.*;
import java.util.*;
public class Main {static final int N = 100010;//原数组static int[] a = new int[N];//树状数组static int[] tree = new int[N];//实际树状数组长度static int n;public static void main(String[] args) throws Exception {BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));String[] row1 = br.readLine().split(" ");n = Integer.parseInt(row1[0]);int m = Integer.parseInt(row1[1]);//读取原数组，从下标1开始 String data[] = br.readLine().split(" ");for(int i = 1; i <= n; i++) {a[i] = Integer.parseInt(data[i - 1]);}for(int i = 1; i <= n; i++) {add(i, a[i]);}while(m-- > 0) {String[] op = br.readLine().split(" ");int o = Integer.parseInt(op[0]);int x = Integer.parseInt(op[1]);int y = Integer.parseInt(op[2]);if(o == 1) {add(x, y);} else if(o == 0) {int res = query(y) - query(x - 1);System.out.println(res);}}br.close();}static int lowbit(int x) {return x & (~x + 1);}static void add(int x, int v) {for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {tree[i] += v;}}static int query(int a) {int res = 0;for(int i = a; i > 0; i -= lowbit(i)) {res += tree[i];}return res;} 
}

操作	时间复杂度
add	O(logn)
query	O(logn)

与前缀和算法的比较

前缀和算法无法实现动态求前缀和，如果只需要求一次前缀和之后不再修改，前缀和算法自然比树状数组要好

因为前缀和算法时间复杂度如下

操作	时间复杂度
init	O(n)
query	O(1)