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wzjs 2025/8/6 5:59:07

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在软件开发与算法设计中，性能优化始终是我们绕不开的话题。衡量一个算法是否高效，主要依赖两个重要指标：时间复杂度（Time Complexity） 和 空间复杂度（Space Complexity）。
这篇文章将全面介绍这两个概念，辅以丰富的代码示例与对比，帮助你更深入地理解它们在实际开发中的应用。

🌟 一、时间复杂度（Time Complexity）

1. 什么是时间复杂度？

时间复杂度表示一个算法在运行过程中所执行的基本操作数（或步骤数），是输入规模 nn 的函数。我们通常用 大 O 符号（Big-O） 表示其增长率，比如：O(1)、O(n)、O(n²) 等。

2. 常见时间复杂度汇总

时间复杂度	描述	场景示例
O(1)	常数时间	访问数组、栈顶操作
O(log n)	对数时间	二分查找、堆操作
O(n)	线性时间	遍历数组、链表
O(n log n)	线性对数时间	快速排序、归并排序
O(n²)	平方时间	双重循环、冒泡排序
O(2ⁿ)	指数时间	斐波那契递归、子集生成
O(n!)	阶乘时间	全排列、TSP问题

3. 时间复杂度增长对比（当 n = 10 时）

输入规模 nn	O(1)	O(log n)	O(n)	O(n log n)	O(n²)	O(2ⁿ)	O(n!)
10	1	~3	10	~33	100	1024	3628800

✅ 说明：随着输入规模变大，高阶复杂度会呈现指数级增长，性能急剧下降，务必注意选择合适算法。

4. 时间复杂度示例代码详解

✅ O(1) — 常数时间复杂度

操作步骤固定，不随输入规模变化：

int getFirst(int[] arr) {return arr[0];  // 始终只执行一次
}

✅ O(log n) — 对数时间复杂度

每次操作将问题规模减半：

int binarySearch(int[] arr, int target) {int left = 0, right = arr.length - 1;while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target) return mid;else if (arr[mid] < target) left = mid + 1;else right = mid - 1;}return -1;
}

✅ O(n) — 线性时间复杂度

一次完整遍历所有元素：

void printAll(int[] arr) {for (int num : arr) {System.out.println(num);}
}

✅ O(n log n) — 线性对数时间复杂度

归并排序是典型的例子：

void mergeSort(int[] arr, int l, int r) {if (l >= r) return;int mid = (l + r) / 2;mergeSort(arr, l, mid);mergeSort(arr, mid + 1, r);merge(arr, l, mid, r);
}

✅ O(n²) — 平方时间复杂度

嵌套循环处理两两组合：

void printPairs(int[] arr) {for (int i = 0; i < arr.length; i++) {for (int j = 0; j < arr.length; j++) {System.out.println(arr[i] + ", " + arr[j]);}}
}

✅ O(2ⁿ) — 指数时间复杂度

斐波那契递归（未优化）：

int fib(int n) {if (n <= 1) return n;return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

✅ O(n!) — 阶乘时间复杂度

全排列问题的回溯搜索：

void permute(List<Integer> list, int l, int r) {if (l == r) {System.out.println(list);return;}for (int i = l; i <= r; i++) {Collections.swap(list, l, i);permute(list, l + 1, r);Collections.swap(list, l, i);}
}

💾 二、空间复杂度（Space Complexity）

1. 什么是空间复杂度？

空间复杂度是指算法在运行过程中额外占用的辅助存储空间，也是衡量算法效率的重要标准。

2. 常见空间复杂度汇总

空间复杂度	描述	场景示例
O(1)	常数空间	只使用固定数量变量
O(n)	线性空间	数组复制、递归栈
O(n²)	二维结构存储	图、DP表格、邻接矩阵

3. 空间复杂度示例代码详解

✅ O(1) — 常数空间复杂度

void swap(int a, int b) {int temp = a;a = b;b = temp;
}

✅ O(n) — 线性空间复杂度

int[] copyArray(int[] arr) {int[] newArr = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {newArr[i] = arr[i];}return newArr;
}

✅ O(n) — 递归栈空间

int factorial(int n) {if (n == 0) return 1;return n * factorial(n - 1);
}

✅ O(n²) — 二维结构空间

int[][] matrix = new int[n][n];  // 占用 O(n²) 空间

🔁 三、时间与空间的权衡

✅ 空间换时间（记忆化递归）

Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();
int fib(int n) {if (n <= 1) return n;if (memo.containsKey(n)) return memo.get(n);int result = fib(n - 1) + fib(n - 2);memo.put(n, result);return result;
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

✅ 时间换空间（节省内存）

int fib(int n) {if (n <= 1) return n;int a = 0, b = 1;for (int i = 2; i <= n; i++) {int c = a + b;a = b;b = c;}return b;
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

📌 四、真实场景中的复杂度选择建议

应用场景	推荐算法	时间复杂度
快速查找	HashMap	O(1)
有序数据查找	二分查找	O(log n)
数据排序	快排 / 归并排序	O(n log n)
图最短路径	Dijkstra	O(E log V)
全排列	回溯 / DFS	O(n!)