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我们来求定积分：
∫ 0 1 ln x d x \int_0^1 \ln x \, dx ∫01lnxdx
这是一个常见的考研/高数经典题目，但它属于广义积分（不定型积分），因为在 x = 0 x = 0 x=0 处， ln x → − ∞ \ln x \to -\infty lnx→−∞，函数在下限处趋于无穷大（发散），所以不能直接计算。
✅ 解题步骤如下：
第一步：把积分写成极限形式（处理 x = 0 x = 0 x=0 的不可积点）
∫ 0 1 ln x d x = lim ε → 0 + ∫ ε 1 ln x d x \int_0^1 \ln x \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_\varepsilon^1 \ln x \, dx ∫01lnxdx=ε→0+lim∫ε1lnxdx
第二步：计算不定积分
回忆公式：
∫ ln x d x = x ln x − x + C \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C ∫lnxdx=xlnx−x+C
于是：
∫ ε 1 ln x d x = [ x ln x − x ] ε 1 = ( 1 ⋅ ln 1 − 1 ) − ( ε ln ε − ε ) \int_\varepsilon^1 \ln x \, dx = \left[ x \ln x - x \right]_\varepsilon^1 = \left(1 \cdot \ln 1 - 1\right) - \left(\varepsilon \ln \varepsilon - \varepsilon \right) ∫ε1lnxdx=[xlnx−x]ε1=(1⋅ln1−1)−(εlnε−ε)
由于 ln 1 = 0 \ln 1 = 0 ln1=0，所以：
= − 1 − ( ε ln ε − ε ) = -1 - (\varepsilon \ln \varepsilon - \varepsilon) =−1−(εlnε−ε)
第三步：极限计算
计算：
lim ε → 0 + [ − 1 − ( ε ln ε − ε ) ] \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ -1 - (\varepsilon \ln \varepsilon - \varepsilon) \right] ε→0+lim[−1−(εlnε−ε)]
我们需要处理：
lim ε → 0 + ε ln ε \lim_{\varepsilon \to 0^+} \varepsilon \ln \varepsilon ε→0+limεlnε
令 ε = 1 t \varepsilon = \frac{1}{t} ε=t1，当 ε → 0 + \varepsilon \to 0^+ ε→0+ 时， t → ∞ t \to \infty t→∞
ε ln ε = 1 t ln ( 1 t ) = − 1 t ln t → 0 \varepsilon \ln \varepsilon = \frac{1}{t} \ln\left( \frac{1}{t} \right) = -\frac{1}{t} \ln t \to 0 εlnε=t1ln(t1)=−t1lnt→0
因为 ln t / t → 0 \ln t / t \to 0 lnt/t→0。
所以：
ε ln ε → 0 , ε → 0 \varepsilon \ln \varepsilon \to 0, \quad \varepsilon \to 0 εlnε→0,ε→0
于是：
lim ε → 0 + [ − 1 − ( ε ln ε − ε ) ] = − 1 − ( 0 − 0 ) = − 1 \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ -1 - (\varepsilon \ln \varepsilon - \varepsilon) \right] = -1 - (0 - 0) = -1 ε→0+lim[−1−(εlnε−ε)]=−1−(0−0)=−1
✅ 最终答案：
∫ 0 1 ln x d x = − 1 \boxed{\int_0^1 \ln x \, dx = -1} ∫01lnxdx=−1
如果你愿意，我也可以画图直观展示 ln x \ln x lnx 在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1) 上的积分面积和趋于极限的过程，要不要？